Algorithm 按位替换模运算符

我们知道，例如，2的幂模可以这样表示：

  x % 2 inpower n == x & (2 inpower n - 1).

示例：

x % 2 == x & 1
x % 4 == x & 3
x % 8 == x & 7 

两个数的一般非幂怎么样

比如说：

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x%7=？

这仅适用于二次幂（通常仅为正数），因为它们具有唯一的属性，即在二进制表示中只有一位设置为“1”。因为没有其他类别的数字共享此属性，所以不能为大多数模数表达式创建按位and表达式。

首先，这样说实际上并不准确

x % 2 == x & 1

简单的反例：

x=-1

。在许多语言中，包括Java，

-1%2==-1

。也就是说，

%

不一定是模的传统数学定义。例如，Java称之为“余数运算符”

关于按位优化，在按位算术中只能“轻松地”实现二的模幂。一般来说，只有基数b的模幂可以“容易地”用基数b表示数字

例如，在基数10中，对于非负的

N

，

N mod 10^k

只取最低有效的

k

位数

工具书类

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这是一种特殊情况，因为计算机以基数2表示数字。这是可以概括的：

（数字）基准%basex

与（数字）基的最后x位相等。

如果不使用二进制中的按位and（

&

）运算符，则没有。证据简图：

---

假设存在一个值k，使得

x&k==x%（k+1）

，但是k！=2^n-1。然后，如果x==k，表达式

x&k

似乎“操作正确”，结果是k。现在，考虑x=＝k- i：如果k中有任何“0”位，则i i大于0，其中k i只能在这些位置中用1位表示。（例如，当从中减去100（4）时，1011（11）必须变为0111（7），在这种情况下，当i=4时，000位变为100。）如果k表达式中的一位必须从零变为一以表示k-i，则它无法正确计算x%（k+1），在这种情况下，x%（k+1）应为k-i，但是在给定掩码的情况下，按位布尔和无法生成该值。

使用按位和、按位或和按位不，您可以将任何位配置修改为另一位配置（即，这些运算符集“功能完整”）。然而，对于像模这样的运算，一般的公式必然会非常复杂，我甚至不会费心去重新创建它。

除了2的幂之外，还有模存在有效的算法

例如，如果x是32位无符号整数，那么 x%3= popcnt（x&0x555555）-popcnt（x&0xaaaaaa）

在这种特定情况下（mod 7），我们仍然可以用位运算符替换%7：

// Return X%7 for X >= 0.
int mod7(int x)
{
  while (x > 7) x = (x&7) + (x>>3);
  return (x == 7)?0:x;
}

它之所以有效是因为8%7=1。显然，此代码的效率可能低于简单的x%7，并且可读性肯定会降低。

没有“%”运算符的模“7”

int a = x % 7;

int a = (x + x / 7) & 7;

只有一种简单的方法可以使用按位查找2^i数的模

有一种巧妙的方法可以解决n%3、n%7。。。 n%5、n%255和n%6等复合情况都有特殊情况

对于案例2^i，（2,4,8,16…）

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更复杂的问题很难解释。如果你非常好奇，请阅读。

如果你碰巧在三元体系结构上操作，那么这会改变一些事情……然而，可能性大约为零。我喜欢你的措辞：“这会改变一些事情”@Neil-模和二进制，是非常基本的操作，我猜他们在任何计算机语言中都是一样的。我确实厌倦了不看到语言的发布：虽然我猜通常如果他们不指定，我认为这意味着C++或C。我想知道这是多么真实……对于任何一个努力理解这一点的人，请看一看。哦，在带V8的JS中，我通过使用位运算符获得了非常轻微的性能提升。@JamesKolpack在CPU上执行位运算的速度比模运算快得多。事实上，将寄存器归零的一个常见组装技巧是将其与自身进行异或（因为这一事实）。现在，编译器可能能够优化二次幂的模，但我不知道

-1=-1（mod 2）

，不确定你得到的是什么-你的意思是它是IEEE 754余数？@BlueRaja:mod 2中-1的常见余数是1@BlueRaja：如果你允许负数，你基本上可以确定什么（特别是因为没有提到任何语言）是

（a/b）/b+a%b==a

，对于C型运算符，a和b整数，b非零，并且

abs（a%b）

具有相同的限制条件。@davidthorney-假设你的意思是

（a/b）

*

b+a%b==a

。对于10%2=0不起作用。（10+10/2）&2=15&2=2，同样10%6=4。（10+10/6）&6=11&6=2另外，当你想避免使用模运算时，为什么你要除法？好吧，除法的指令和求余数的指令是一样的。@SriramMurali那是因为你使用了偶数模，当然它不起作用，这是一个解决奇数的方法，就像OP所说的。投票++；很好的链接，谢谢你的参考。我建议让其他人看一看，即使有点复杂，也值得一读。链接是答案中最好的部分。n%2^i=n&（1）

n % 2^i = n & (2^i - 1)