Algorithm 求二叉树高度的递推关系和时间复杂度

我正在研究一个简单的问题，在HackerRank上查找二叉树的高度。我下面的解决方案通过了所有测试用例，在手工运行了一些代码之后，我相信它是一个O（n）解决方案。我在网上找到的大多数其他解决方案（我想）都说它也是O（n），但我无法根据这两种解决方案解决达到O（n）的递归关系

假设树不平衡，下面是我的解决方案：

 public static int height(Node root) {
    // Write your code here.
    if (root.left == null && root.right == null) {
      return 0;
    } else if (root.left == null && root.right != null) {
      return 1 + height(root.right);
    } else if (root.left != null && root.right == null) {
      return 1 + height(root.left);
    } else {
      return 1 + Math.max(height(root.left), height(root.right));
    }
  }

我发现调用的函数数几乎与节点数完全相同，这意味着它应该是O（n）。基于我的上一个案例，我认为这可能是最糟糕的运行时案例，当我需要在两个分支上调用height（node）时，我尝试推导以下递归关系

Let n be the number of nodes and k be the number of level
T(n) = 2 T(n/2)

Base Case: n = 0, n =1

T(0) = -1
T(1) = T(2^0)= 0

Recursive Case:
k = 1, T(2^1) = 2 * T(1)
k = 2, T(2^2) = 2 * T(2) = 2 * 2 * T(1) = 2^2 T(1)
k = 3, T(2^3) = 2^3 * T(1)
....
2^k = n=> k = logn => T(2^k) = 2^k * T(1) = 2^logn * T(1)  

显然，对我来说，时间复杂度是O（2^logn），我不明白为什么人们说它是O（n）？我读了这篇文章（），我想这是有道理的，因为

O（n）>O（2^logn）

，但我有两个问题：

我的递归关系正确吗？结果正确吗？如果是，为什么在现实中（我计算函数被调用的次数）我仍然得到O（n）而不是O（2^logn）

对于这样的递归函数，如何推导递归关系？你是否考虑了最坏的情况（在我的例子中是最后一个条件）并从中导出了递归关系

由于

2^log（n）=n

根据

log

函数的定义，您可以发现两者是相同的。这意味着

O（n）

和

O（2^log（n））

是等价的

---

此外，如果您需要重复查找树的高度，您可以对树进行预处理并存储每个节点的子树高度，以便在预处理阶段后在

O（1）

中查找树的高度。

精确地

log

表示对底的对数

2

。所以

2^log（n）=x=>log（n）。log（2）=log（x）=>log（n）=>log（x）=>x=n。因此O（2^log（n））=O（n）

-只是想添加解释。计算循环次数不是一个坏的练习，但对于这个问题，它不是必需的。搜索访问每个节点，并在每个节点上花费固定时间。因此，它必须是ω（n）。