Algorithm 图的边遍历算法，有些边是必需的，有些是可选的

我有一个所有顶点都是偶数的无向图。在这个图中，有一组边必须被完全覆盖一次，还有一组边除非绝对必要，否则根本不应该被覆盖。我需要在图中找到一组一条或多条路径，这样所有需要的边都只覆盖一次，并且遍历的不需要的边的数量最小化。没有需要的边可以被多条路径遍历，但是不需要的边可以被任意数量的路径遍历。这不是一条欧拉路径，因为存在可选边

尽管路径可以覆盖任意数量的不需要的边，但每个路径的长度都受到其可以覆盖的所需边的最大数量的限制

起点和终点不必相同，但有一组可能的起点

某些不需要的边与所需边重合-也就是说，一对顶点之间可能同时具有所需边和不需要的边，尽管给定的一对顶点之间每种类型的边不会超过一条

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什么是一个好的算法开始？从根本上说，我正在寻找一种算法，可以找到一条路径，该路径只遍历所需的边一次，并在可能时避免不需要的边，但在必要时可以多次遍历它们。我可以在此基础上做其余的事情。

我认为这可以归结为旅行推销员的问题。创建一个变换图，其中节点表示强制边，边权重表示从一条强制边到另一条强制边必须遍历的可选边数

现在的问题是在经过所有节点和边的变换图中找到最短路径。这就是TSP，它是NP难的

这会有一些复杂的情况，因为强制边之后可以选择的路径取决于选择的方向。可以通过将每个强制边转化为两个节点（每个方向一个节点）来解决此问题。然后，TSP必须访问每对中的一个节点

e、 g

转换图： 节点={AB，BA，BC，CB}

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Edge={AB->BC成本0，BA->CB成本1，CB->BA成本0，BC->AB成本1}

我认为这可以归结为旅行商问题。创建一个变换图，其中节点表示强制边，边权重表示从一条强制边到另一条强制边必须遍历的可选边数

现在的问题是在经过所有节点和边的变换图中找到最短路径。这就是TSP，它是NP难的

这会有一些复杂的情况，因为强制边之后可以选择的路径取决于选择的方向。可以通过将每个强制边转化为两个节点（每个方向一个节点）来解决此问题。然后，TSP必须访问每对中的一个节点

e、 g

转换图： 节点={AB，BA，BC，CB}

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边={AB->BC-cost 0，BA->CB-cost 1，CB->BA-cost 0，BC->AB-cost 1}

您正在原始图中查找一个子图，使其包含所有需要的边，并使不需要的边最少，从而包含欧拉路径

已知图包含欧拉路径的充要条件是它是连通的，并且除了偶数次的2个顶点外，它的所有顶点都是连通的。这可以通过执行以下操作来确保：

首先直接在最终子图中包含所有所需的边。现在有了一个包含一个或多个连接组件的图形。 案例1：

如果此子图中的组件数为1，即所有边都相互连接，则只需确保除2之外的所有顶点都具有偶数阶。由于原始图形的所有顶点都是偶数，因此可以这样做，但我们还需要注意，为达到此目的而添加的边数是最小的，因为只剩下不需要的边来添加

一种很好的启发式方法是，从每个奇数阶顶点开始，进行BFS宽度优先搜索，直到到达另一个奇数阶顶点。对所有奇数阶顶点执行此操作，选择在它们之间采用最大非期望路径的两个顶点以实现此操作，然后删除此路径。现在，图形将具有欧拉路径

需要注意的一点是，这种奇数顶点的配对总是可能的，因为没有一个图可以有奇数个奇数度的顶点

案例2：

仅由所需边组成的子图具有多个分量。要确保连接性，请执行以下操作-以顶点数最少的组件为例。从每个顶点执行BFS，并选择将此组件连接到任何其他组件的最小长度路径 t

重复此过程，直到所有组件合并为单个组件。现在，对于均匀性，请遵循前面针对案例1概述的步骤

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您正在原始图中查找一个子图，使其包含所有需要的边，并使不需要的边最少，使其包含欧拉路径

已知图包含欧拉路径的充要条件是它是连通的，并且除了偶数次的2个顶点外，它的所有顶点都是连通的。这可以通过执行以下操作来确保：

首先直接在最终子图中包含所有所需的边。现在有了一个包含一个或多个连接组件的图形。 案例1：

如果此子图中的组件数为1，即所有边都相互连接，则只需确保除2之外的所有顶点都具有偶数阶。由于原始图形的所有顶点都是偶数，因此可以这样做，但我们还需要注意，为达到此目的而添加的边数是最小的，因为只剩下不需要的边来添加

一种很好的启发式方法是，从每个奇数阶顶点开始，进行BFS宽度优先搜索，直到到达另一个奇数阶顶点。对所有奇数阶顶点执行此操作，选择在它们之间采用最大非期望路径的两个顶点以实现此操作，然后删除此路径。现在，图形将具有欧拉路径

需要注意的一点是，这种奇数顶点的配对总是可能的，因为没有一个图可以有奇数个奇数度的顶点

案例2：

仅由所需边组成的子图具有多个分量。要确保连接性，请执行以下操作-以顶点数最少的组件为例。从每个顶点执行BFS，并选择将此组件连接到任何其他组件的最小长度路径

重复此过程，直到所有组件合并为单个组件。现在，对于均匀性，请遵循前面针对案例1概述的步骤

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这是NP难的：哈密顿路径问题的一个实例可以转化为你的问题的一个实例。因此，如果你知道如何解决你的问题，你就知道如何解决哈密顿路径问题

要进行变换，请使用一个有向图并将每个顶点加倍，例如，转换为红色和蓝色顶点。对于每个前一个顶点，使所有入站边变为红色顶点，所有出站边变为蓝色顶点。从红色顶点到蓝色顶点创建一条新边。显然，如果你能解决这个图的哈密顿圈问题，你也能解决原始图的哈密顿圈问题

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现在，将所有新边标记为强制，将所有旧边标记为可选。将单个红色顶点标记为可能的入口点。如果你的问题有一个解决方案，那么它由一条路径组成，这是原始图的哈密顿路径。

这是NP难的：哈密顿路径问题的一个实例可以转化为你的问题的一个实例。因此，如果你知道如何解决你的问题，你就知道如何解决哈密顿路径问题

要进行变换，请使用一个有向图并将每个顶点加倍，例如，转换为红色和蓝色顶点。对于每个前一个顶点，使所有入站边变为红色顶点，所有出站边变为蓝色顶点。从红色顶点到蓝色顶点创建一条新边。显然，如果你能解决这个图的哈密顿圈问题，你也能解决原始图的哈密顿圈问题

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现在，将所有新边标记为强制，将所有旧边标记为可选。将单个红色顶点标记为可能的入口点。如果您的问题有解决方案，那么它由一条路径组成，该路径是原始图形的哈密顿路径。

阅读Cormen，Leiserson，Rivest-算法简介，了解图形算法的详细介绍。感谢推荐；我在当地的一家书店找到了一本。阅读Cormen，Leiserson，Rivest-算法简介，了解图形算法的详细介绍。谢谢你的推荐；我在当地一家书店找到了一本。谢谢。我在原来的问题中漏掉了一点；某些不需要的边与所需边重合-即，一对顶点之间可能同时具有所需边和不需要的边。我仍然需要一些时间来考虑你的答案，但我想知道这是否会影响什么。我忽略它的原因是因为我在概括这个问题，但现在我不确定我是否错误地概括了它，或者它是否仍然是同一个问题。你是说一条边既可以是必需的，也可以是不需要的？或者一对端点之间可以有两条边-一条是必需的，另一条是不需要的？如果是第一种情况，这并不重要，因为即使该边是不需要的，也必须将其包含在子图中，因为它是必需的。即使是第二种情况，也不会造成任何问题，因为您只需使用所需的e

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dge。就实现图形连接性而言，可以忽略不需要的边，并且在尝试实现均匀性条件时，可以根据需要将其包括在内。谢谢。我在原来的问题中漏掉了一点；某些不需要的边与所需边重合-即，一对顶点之间可能同时具有所需边和不需要的边。我仍然需要一些时间来考虑你的答案，但我想知道这是否会影响什么。我忽略它的原因是因为我在概括这个问题，但现在我不确定我是否错误地概括了它，或者它是否仍然是同一个问题。你是说一条边既可以是必需的，也可以是不需要的？或者一对端点之间可以有两条边-一条是必需的，另一条是不需要的？如果是第一种情况，这并不重要，因为即使该边是不需要的，也必须将其包含在子图中，因为它是必需的。即使是第二种情况，也不会造成任何问题，因为您只获取所需的边。就实现图形连通性而言，可以忽略不需要的边，并且在尝试实现均匀性条件时，可以根据需要包括不需要的边。

A===C
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| /             (edges A<->B and B<->C are compulsory, A<=>C is optional)
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B