Animation 二次贝塞尔插值

我想在AS2中获得一些代码来插值二次贝塞尔曲线。节点之间的距离是恒定的。基本上，它是沿着由3点定义的非双曲二次贝塞尔曲线以恒定速度为球设置动画。

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谢谢

贝塞尔曲线数学非常简单，所以我会帮你解决这个问题，你可以把它转换成ActionScript

二维二次贝塞尔曲线由三个

（x，y）

坐标定义。我将把它们称为

P0=（x0，y0）

，

P1=（x1，y1）

和

P2=（x2，y2）

。此外，参数值

t

，范围从

0

到

1

，用于指示曲线上的任何位置。所有

x

、

y

和

t

变量均为实值（浮点）

二次贝塞尔曲线的方程式为：

P(t) = P0*(1-t)^2 + P1*2*(1-t)*t + P2*t^2

因此，使用伪代码，我们可以像这样平滑地跟踪贝塞尔曲线：

for i = 0 to step_count
    t = i / step_count
    u = 1 - t
    P = P0*u*u + P1*2*u*t + P2*t*t
    draw_ball_at_position( P )

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这假设您已经如上定义了点

P0

、

P1

和

P2

。如果将控制点均匀隔开，则应沿曲线获得均匀的步长。只需将step_count定义为您希望看到的沿曲线的步数。

请注意，该表达式可以在数学上更有效地完成

P(t) = P0*(1-t)^2 + P1*2*(1-t)*t + P2*t^2

及

两者都有可以简化的t乘法

例如：

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C=A*t+B（1-t）=A*t+B-B*t=t*（A-B）+B

=您保存了一次乘法=双重性能。

Naaff提出的解决方案，即

p（t）=P0*（1-t）^2+P1*2*（1-t）*t+P2*t^2

，将获得正确的“形状”，但在

[0:1]中选择等距
t

间隔不会产生均匀间隔的

P（t）

。换言之，速度不是恒定的（您可以根据

t

区分前面的方程式来查看）

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通常，以恒定速度通过参数曲线的常用方法是按弧长重新参数化。这意味着将

P

表示为

P（s）

，其中

s

是沿曲线穿过的长度。显然，

s

从零到曲线的总长度不等。在二次贝塞尔曲线的情况下，弧长作为

t

的函数有一个封闭形式的解，但它有点复杂。在计算上，使用您喜欢的方法进行数值积分通常会更快。但是请注意，其思想是计算反向关系，即

t（s）

，以便将

P

表示为

P（t（s））

。然后，选择等距

s

将产生等距

P

我已经看到了一些复杂的数学知识，但它涉及到积分，我不知道如何在AS2中进行积分。虽然可以节省一些乘法，但伯恩斯坦基在数值上更稳定。因此，如果需要考虑精度，则不应重新组织多项式。诚然，这对设置球的动画没有多大影响，但这在CAD软件包中是一件大事。

P = P0*u*u + P1*2*u*t + P2*t*t