Big o 为什么这个代码的运行时间是O（nlogn）？

这是课程算法的练习，关于Coursera的第1部分。他们说答案是O（N logn）。我不明白为什么：

int sum = 0;
for (int i = 1; i <= N; i = i*2)
    for (int j = 1; j <= N; j = j*2)
        for (int k = 1; k <= j; k++)
            sum++;

int和=0；
对于（int i=1；i让我们分析一下（将
j
重写为
j
）

执行。
但这是一个几何级数的和，所以这个和是

2^0 (2^{n+1} - 1)(2 - 1) = 2^{n+1} - 1 = O(2^n) = O(N).

这个带有
i
的外循环执行
n=\log（n）
次，我们总共有
O（n\log（n））
让我们分析一下（将
j
重写为
j
）

执行。
但这是一个几何级数的和，所以这个和是

2^0 (2^{n+1} - 1)(2 - 1) = 2^{n+1} - 1 = O(2^n) = O(N).

这个带有
i
的外循环执行
n=\log（n）
次，我们总共有
O（n\log（n））
最外循环的步数呈指数增长：

1 2 4 8 16 32 64 128 .... N

中间的循环是相同的

两者都有
log（N）
（到基2）步骤

到目前为止，您得到了
log（N）*log（N）

最里面的循环运行
j
次，其中
j
每次由中间循环限定/给定。它运行
log（N）
次，迭代步骤为1。这是一个系列：

j=1:      1
j=2:      1 2
j=4:      1 2 3 4
j=8:      1 2 3 4 5 6 7 8
j=16:     1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 16
...
j=N:      1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... N
======================================
1 + 3 + 10 + 36 + ... + (1+2+3+4+5+...+N)

因此，您将
log（N）*log（N）*N
作为上限（实际上，最里面的循环运行的步数比
N
少）

因此，最后你得到了
O（N*log^2（N））

我的分析没有产生
O（N*log（N））
，但这并不意味着它不是。也许最内层循环的边界可以改进，因为我在这里简化了
N
作为所有循环的上限；我的意思是，最内层的两个循环可能比
O（N*log（N））
更好。如果你能看到它们是如何
O（N）
然后您就得到了解决方案。
最外层循环的步长呈指数增长：

1 2 4 8 16 32 64 128 .... N

中间的循环是相同的

两者都有
log（N）
（到基2）步骤

到目前为止，您得到了
log（N）*log（N）

最里面的循环运行
j
次，其中
j
每次由中间循环限定/给定。它运行
log（N）
次，迭代步骤为1。这是一个系列：

j=1:      1
j=2:      1 2
j=4:      1 2 3 4
j=8:      1 2 3 4 5 6 7 8
j=16:     1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 16
...
j=N:      1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... N
======================================
1 + 3 + 10 + 36 + ... + (1+2+3+4+5+...+N)

因此，您将
log（N）*log（N）*N
作为上限（实际上，最里面的循环运行的步数比
N
少）

因此，最后你得到了
O（N*log^2（N））

我的分析没有产生
O（N*log（N））
，但这并不意味着它不是。也许最内层循环的边界可以改进，因为我在这里简化了
N
作为所有循环的上限；我的意思是，最内层的两个循环可能比
O（N*log（N））
更好。如果你能看到它们是如何
O（N）
然后您得到了解决方案。
外部循环运行log（N）次。
两个内部循环组合运行Sum_{x=1}{log（N）}2^x次，其中每个summand表示中间循环的一次迭代。
使用几何和公式，这使得总的log（N）（1-2^（log（N）+1））/（1-2）=log（N）（2N-1）迭代，这显然是O（N*logN）
外循环运行log（N）次。
两个内部循环组合运行Sum_{x=1}{log（N）}2^x次，其中每个summand表示中间循环的一次迭代。
使用几何和公式，这使得总log（N）（1-2^（log（N）+1））/（1-2）=log（N）（2N-1）迭代，这显然是O（N*logN）
你认为复杂度是多少？这很难回答，因为我不知道最里面的循环运行了多少次。但我原以为最外面的两个循环会分别运行对数n次。这是一个几何级数1、2、4、8、16…（其中第一个基项a=1，乘数r=2）请看这一页：如果我问了一些愚蠢的问题，我很抱歉，但是找到几何级数如何帮助我计算循环运行了多少次？你能举一个例子，将这个几何级数与上面的代码联系起来吗？你会期望什么样的复杂性？这很难回答，因为我不知道循环运行了多少次e最里面的循环运行。但我认为最外面的两个循环将分别运行对数n次。这是一个几何级数1，2，4，8，16…（其中基第一项a=1，乘数r=2）请看这一页：如果我问了一些愚蠢的问题，我很抱歉，但是找到几何级数如何帮助我计算循环运行了多少次？你能举一个例子，将这个几何级数与上面的代码连接起来吗？但是根据答案，那么j=1，j=2，j=3，j=4，j=5。当j运行时怎么会这样算术上？应该不是j=1，j=2；j=4，j=8…所以我不明白为什么j=log（N）：12345…log（N）。你能详细解释一下吗？谢谢！谢谢Elyasin。我仍然在努力理解最后两行：j=log（N）：1234568910…log（N）===========================================1+3+10+36+…+（N-1）+log（N）你有时间解释吗？@user2399525对不起，我再次更正了。j从
1到N
，但以指数级的步长。因此它循环
log（N）
次。检查并让我知道。我真的无法找到你的解决方案。我重新考虑了，我能想出的最好的方法是
O（N*log^2（N））
目前。O（N*log^2（N））这也是我提出的解决方案。但根据Coursera上的这门课程，这不是答案。但是谢谢！但是根据答案，那么j=1，j=2，j=3，j=4，j=5。当j以对数方式运行时，怎么会是这样呢？它不应该是j=1，j=2；j=4，j=8…所以我不明白为什么j=log（N）：1 2 3 4 5…log（N）你能详细解释一下吗？谢谢！谢谢Elyasin。不过我还在试着理解最后两行：j=log（N）：12345678910…log（N）=========================================1+3+10+36+…+（N-1）+log（N）你有时间解释一下吗？@user2399525对不起，我再次更正了。j从
1到N
，但是是指数级的。所以它循环lo