Big o 大O表示法查找c和n0

我刚刚被介绍了Big-O表示法，有人问了我一些问题。但是，我对如何确定

n0

的值感到困惑。 我必须证明

3n^3+20n^2+5

是O（n^3）。到目前为止，我已经：

3n^3 + 20n^2 + 5 <= cn^3

(3 - c)n^3 + 20n^2 + 5 <= 0

5 <= n^3(c - 3) - 20n^2

5 <= n^2(n(c - 3) - 20)

3n^3+20n^2+5
3n^3+20n^2+5
值得注意的是，根据Big-O表示法的定义，并不要求界实际上如此紧密。由于这是一个简单的函数，您可以猜测并检查它（例如，为c选择100，并注意条件确实是渐近真的）

例如：

3n^3 + 20n^2 + 5 <= (5 * 10^40) * n^3 for all n >= 1

（这是一个相当糟糕的“证明”，但希望这个想法能说明。）
如果你有
f（n）=（3n^3+20n^2+5）
并且你想看看它是否是
O（g（n））
其中
g（n）=n^3
，我相信你可以把
f（n）/g（n）
的极限看作n->无穷大

因为限制是3，您可以看到
3n^3+20n^2+5
的增长速度仅与
n^3
的增长速度相同。当你有一个类似于
3n^3+20n^2+5
的多项式时，你可以通过检查判断最大阶项总是
O（f（n））
的值

找到n0和C并没有多大帮助，但它是确定事物顺序的相对简单的方法。正如其他人在这里所说的，你可以选择n0，然后计算C

如果您选择n0=1，则您有
3*（1^3）+20*1^2+5=28
。所以如果
c1^3除以n^3
我们得到
3+20/n+5/n^3Aw，比我快30秒：）+我认为它应该是c>=2？5>2，所以没有什么不同。任何一个n0和任何一个c都可以。现在我更困惑了，问题的答案是我应该选择n0=21和c=4：S@DomBrown嗯，也许我误解了n0是什么。n0是
3n^3+20n^2+5
和
cn^3
相交的点，对吗？这个交集是
c
（间接）的函数，所以对于
n0
和
c
，没有一个解决方案。我的笔记是这样说的：给定函数f（n）和g（n），我们说f（n）是O（g（n）），如果存在正常数c和n0，使得f（n）≤ n的cg（n）≥ n0@DomBrown正确的。大O只需渐近满足条件。这意味着对于部分域，f（n）可以>cg（n）。只要到达某个点（这里称之为
n0
），f（n）就必须>=cg（n）。为了证明Big-O关系，你所要做的就是证明
c
和
n0
的存在。（值得注意的是，在我的回答中，我并没有从技术上证明它们的存在。我将在稍后编辑我的回答。）感谢您的帮助。我只想澄清最后一件事。这个问题有可能有多个答案吗？i、 e.n0和c可能还有其他两个值？
3n^3 + 20n^2 + 5 <= cn^3
=> 20n^2 + 5 <= cn^3 - 3n^3
=> 20n^2 + 5 <= n^3(c - 3)
=> 20n^2/n^3 + 5/n^3 <= n^3(c - 3)/n^3
=> 20/n + 5/n^3 <= c - 3
=> c >= 20/n + 5/n^3 + 3

c >= 20/1 + 5/1 + 3 which yields c >= 28

3n^3 + 20n^2 + 5 <= (5 * 10^40) * n^3 for all n >= 1

3n^3 + 20n^2 + 5 <= 28n^3
20n^2 + 5 <= 28n^3 - 3n^3
20n^2 + 5 <= 25n^3
20/n + 5/n^3 <= 25

When n = 1: 20 + 5 <= 25 or 25 <= 25
For any n > 1, 20/n + 5/n^3 < 25, thus for all n > 1 this holds true.

Thus 3n^3 + 20n^2 + 5 <= 28n^3 is true for all n >= 1