Binary 将重复的二进制数转换为十进制数（表示为级数？）

给定一个重复的二进制数，例如0.（0011）或0.0（101），如何将其转换为十进制

到目前为止，我能找到的是将终止二进制数转换为十进制数的简单方法，如下所示：

res(N+2) = res(N+1) / 2 + res(N)

其中res是步骤N之后的结果，N是当前迭代（N=0；N->（num二进制数字））。例如，将其反复应用于非终止二进制数可以得到很好的近似值

dec:0.4 || bin: 0.(0110):

0     / 2 + 0 = 0
0     / 2 + 0 = 0
0     / 2 + 1 = 1
1/2   / 2 + 1 = 3/2
3/2   / 2 + 0 = 3/4
3/4   / 2 + 0 = 3/8
3/8   / 2 + 1 = 19/16
19/16 / 2 + 1 = 51/32
51/32 / 2 + 0 = 51/64
51/64 / 2 + 0 = 51/128 = 0.3984

0.(0011) = 0011 / 1111 =(in decimal) 3/15 = 1/5

大约是0.4

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所以，我已经有了一种计算近似值的方法，但我正在努力寻找一种表达方法。我已经开始尝试将它写成一个系列，我可以以n->inf的极限计算，但迄今为止没有太多成功。

即使是计算机也不太正确。通常，该值只是四舍五入。如果开始显示精度太高的浮点值，最终会出现奇怪的值，如0.3984，而不是0.4

将任何基数的任何小数点转换为另一个基数通常会导致精度损失。你无法神奇地恢复。这是一个主要的原因，你不应该使用浮动或双倍在一个程序，计算重要的东西，如金钱

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<>请一直走，直到你认为你已经足够精确了，然后把它舍弃。< / P> < P>一个精确答案的方法是使用无穷几何级数。分数r的无穷幂和，对于指数1到无穷大，0 给定一个重复的二进制数，例如0.（0011）或0.0（101），如何将其转换为十进制

这可以用二进制和十进制一样的方法来解决（即可以确定确切的有理数）。在十进制中，如果我们有，比如说，

0.（567）

，并且我们想要确定它所表示的确切的有理数，我们只需将

567

作为分子，将

999

（具有

n

9

s的数字，其中

n

是重复组中的位数）作为分母：

0.(567) = 567/999 = 189/333 = 63/111

现在的价格是最低的。这个过程是对完整的无限几何级数结果的升华

在二进制中，我们做同样的事情，不同的是，我们想要的不是

n

9

s作为分母，而是

n

1

s（因为

1

是二进制中的最高数字）。比如说

dec:0.4 || bin: 0.(0110):

0     / 2 + 0 = 0
0     / 2 + 0 = 0
0     / 2 + 1 = 1
1/2   / 2 + 1 = 3/2
3/2   / 2 + 0 = 3/4
3/4   / 2 + 0 = 3/8
3/8   / 2 + 1 = 19/16
19/16 / 2 + 1 = 51/32
51/32 / 2 + 0 = 51/64
51/64 / 2 + 0 = 51/128 = 0.3984

0.(0011) = 0011 / 1111 =(in decimal) 3/15 = 1/5

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如果重复组前面有数字，只需围绕此计算进行一些算术运算：例如，

0.0（101）

就是

0.（101）

除以2。后者是

101/111

，或

5/7

，因此

0.0（101）

是

5/14

，如果使用最大的数字（以10为基数的9，以2为基数的1）执行与十进制相同的操作，则可以在一个步骤中将其全部放在一起重复位数的次数，0等于重复位数之前的位数。希望这个例子能说明这一点：

0.196(2) = (196*9 + 2)/(9000)
0.12(034) = (12*999 + 34)/99900

b0.01(011) = (b1*b111 + b11)/b11100 = (1*7 + 3)/(7*4) = 10/28

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这正是我所采用的方法，尽管我仍然好奇是否有办法计算出准确的值。直觉上，我觉得我应该能够在无穷远的范围内完成这项工作，但我似乎无法动脑去写它（我已经好几年没有接触过这种数学了……）