Boolean 简化9变量布尔表达式

我试图创建一个tic-tac-toe程序作为一种心理训练，我将董事会状态存储为布尔值，如下所示：

我想简化这个布尔表达式

(a&b&c) | (d&e&f) | (g&h&i) | (a&d&g) | (b&e&h) | (c&f&i) | (a&e&i) | (g&e&c)

我的第一个想法是使用a，但在线上没有支持9个变量的解算器

问题是：

首先，我如何知道布尔条件是否已经尽可能简单

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第二：上面的布尔条件简化了什么？

一个选项是手动执行卡诺图。因为你有

9

变量，这就形成了一个2^4乘2^5的网格，这个网格相当大，从方程的外观来看，可能也不太有趣

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通过检查，它看起来不像卡诺图会给你提供任何有用的信息（卡诺图基本上将

（（！a）&b）|（a&b）

等表达式简化为

b

），因此在这种简化意义上，你的表达式已经尽可能简单了。但是，如果您想减少计算量，可以使用AND运算符在OR上的分布来计算出一些变量。

您知道，如果没有公共子项可提取（例如，如果您在两个不同的三元组中有“a&b”），这是一个尽可能简单的方法

你知道你的tic-tac-toe解决方案必须尽可能简单，因为任何一对盒子最多只能属于一条赢线（只有一条直线可以通过两个给定点），所以（a&b）不能在你正在检查的任何其他赢线中重复使用

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（此外，“简单”可以指很多事情；具体说明你的意思可以帮助你回答自己的问题。）

思考这一点的最佳方式是一个人的想法。没有人会对自己说，“a和b和c，或者如果d和e和f”，等等。他们会说“一行中的任意三个，水平、垂直或对角。”

此外，您可以只进行四次检查（三行一对角线），然后将电路板旋转90度，然后再次进行相同的检查，而不是进行八次检查（三行、三列和两条对角线）

这就是你的结局。这些函数都假设棋盘是一个三乘三的布尔矩阵，其中true表示获胜符号，false表示未获胜符号

def win?(board)
  winning_row_or_diagonal?(board) ||
    winning_row_or_diagonal?(rotate_90(board))
end

def winning_row_or_diagonal?(board)
  winning_row?(board) || winning_diagonal?(board)
end

def winning_row?(board)
  3.times.any? do |row_number|
    three_in_a_row?(board, row_number, 0, 1, 0)
  end
end

def winning_diagonal?(board)
  three_in_a_row?(board, 0, 0, 1, 1)
end

def three_in_a_row?(board, x, y, delta_x, delta_y)
  3.times.all? do |i|
    board[x + i * delta_x][y + i * deltay]
  end
end

def rotate_90(board)
  board.transpose.map(&:reverse)
end

矩阵从这里开始旋转：

虽然这段代码比较详细，但每个函数的意图都很清楚。该代码不再是一个很长的布尔表达式，而是表达了tic-tac-toe的规则。

2。简化条件： 原意

a&b&c|d&e&f|g&h&i|a&d&g|b&e&h|c&f&i|a&e&i|g&e&c

可以简化为以下内容，知道&比|

e&(d&f|b&h|a&i|g&c)|a&(b&c|d&g)|i&(g&h|c&f)

短4个字符，在最坏的情况下执行18次

&

和

|

评估（原来的计算为23次） 没有更短的布尔公式（见下文）。如果你愿意，也许你可以找到另一个解决办法

1.确保我们得到最小的配方 通常，很难找到最小的公式。看看你是否更感兴趣。但在我们的例子中，有一个简单的证明

对于公式大小，我们将推理公式是最小的，其中对于变量

a

，

size（a）=1

，对于布尔运算

size（a&B）=size（a | B）=size（a）+1+size（B）

，对于求反

size（！a）=size（a）

（因此，我们可以假设没有成本）。 关于这个尺寸，我们的公式是37号

证明你不能做得更好的证据在于，首先要指出有8行需要检查，并且总是有一对字母区分两行。由于我们可以将这8个检查与剩余变量重新组合在不少于3个的共轭中，因此最终公式中的变量数量至少应为

8*2+3=19

，从中我们可以推断出最小树大小

详细证明

让我们假设一个给定的公式

F

是最小的，格式为

F

不能包含像

这样的否定变量！a

。为此，请注意，

F

应该是单调的，也就是说，如果它返回“true”（有一个获胜的行），那么将其中一个变量从

false

更改为

true

不应改变该结果

F

可以不求反地写入。更好的是，我们可以证明我们可以消除否定。下面，我们可以转换回和DNF格式，在中间删除否定的变量，或者用<代码> >真/ <代码>替换< < /P>

F

不能包含类似于两个变量析取的子树

a | b

。 如果此公式有用且不能与

a

或

b

交换，则意味着存在相互矛盾的赋值，例如

F[a | b]=true

和

F[a]=false

，因此，由于单调性，

a=false

和

b=true

。同样，在这种情况下，将

b

转到

false

会使整个公式

false

，因为

false=F[a]=F[a | false]>=F[a | b]（b=false）

。 因此，有一行经过

b

，这是真理的原因，它不能通过

a

，因此，例如

e=true

和

h=true

。 该行的检查通过表达式

a | b

进行测试

b

。然而，这意味着当

a、e、h

为真且所有其他设置为假时，

F

仍然为真，这与公式的目的相矛盾

每个看起来像

a&b

的子树检查一个唯一的行。因此，最后一个字母应该出现在相应的析取

（a&b |…）&{c肯定在这里的某个地方}

，否则这个叶子是无用的，a或b都可以安全删除