Logic 如何在Coq中处理感应式案例_Logic_Coq

Logic 如何在Coq中处理感应式案例

logic coq

Logic 如何在Coq中处理感应式案例,logic,coq,Logic,Coq,我想用destruct策略通过案例来证明一个陈述。我在网上读了几个例子，我很困惑。有人能更好地解释一下吗下面是一个小示例（有其他方法可以解决此问题，但请尝试使用destruct）：在这种情况下，我得到： 3 subgoals H : zero <> zero /\ zero <> one ______________________________________(1/3) zero = two __________________________________

我想用

destruct

策略通过案例来证明一个陈述。我在网上读了几个例子，我很困惑。有人能更好地解释一下吗

下面是一个小示例（有其他方法可以解决此问题，但请尝试使用

destruct

）：

在这种情况下，我得到：

3 subgoals H : zero <> zero /\ zero <> one
______________________________________(1/3) 
zero = two

______________________________________(2/3) 
one = two

______________________________________(3/3) 
two = two

3个子目标H:zero-zero/\zero-one
______________________________________(1/3) 
零=二
______________________________________(2/3) 
一=二
______________________________________(3/3) 
二=二

所以，我想证明前两个案例是不可能的。但是机器将它们列为子目标，并希望我证明它们。。。这是不可能的

总结：如何准确地丢弃不可能的案例

我见过一些使用

反转的例子，但我不理解这个过程
最后，如果我的引理依赖于几个归纳类型，而我仍然想覆盖所有情况，会发生什么呢？
如何丢弃不可能的情况？的确，前两项义务无法证明，但请注意，它们有相互矛盾的假设（0-0
和1-1
）。因此，你将能够用tauto
证明这些目标（如果你感兴趣的话，还有更原始的战术可以做到这一点）
inversion
是更高级的析构函数版本。除了“破坏”电感外，它有时还会产生一些等式（您可能需要）。它本身是归纳法的一个简单版本，它还将为您生成一个归纳假设
如果你的目标中有几种归纳类型，你可以一个接一个地分解/反转它们
更详细的演练：
Inductive three := zero | one | two .

Lemma test : forall a, a <> zero /\ a <> one -> a = two.
Proof.
  intros a H.
  destruct H. (* to get two parts of conjunction *)
  destruct a. (* case analysis on 'a' *)
(* low-level proof *)
  compute in H. (* to see through the '<>' notation *)
  elimtype False. (* meaning: assumptions are contradictory, I can prove False from them *)
  apply H.
  reflexivity.
(* can as well be handled with more high-level tactics *)
  firstorder.
(* the "proper" case *)
  reflexivity.
Qed.

感应三：=零|一|二。
引理检验：对于所有a，一个零/\a一->a=2。
证明。
介绍a H。
析构函数H.（*得到两部分连词*）
破坏a。（*关于“a”的案例分析*）
（*低级证明*）
以H.为单位计算（*以看穿“”符号*）
elimtype为False。（*意思是：假设相互矛盾，我可以从中证明错误*）
应用H。
自反性。
（*也可以用更高层次的战术处理*）
一等货。
（*正确的案例*）
自反性。
Qed。

如果你看到一个不可能的目标，有两种可能性：要么你在证明策略中犯了错误（也许你的引理是错误的），要么假设是矛盾的

如果您认为假设是矛盾的，那么可以将目标设置为

False

，以消除一点复杂性<代码>elimtype False实现了这一点。通常，通过证明命题

及其否定

~P

来证明

False

；这种策略从

和

~P

中推断出任何目标。如果有一个特别的假设是矛盾的，

矛盾H

将目标设置为

~H

，或者如果假设是否定的

~a

，那么目标将是

（比

~a

更强，但通常更方便）。如果一个特定的假设显然是矛盾的，

矛盾H

或仅仅是

矛盾

将证明任何目标

有许多策略涉及归纳类型的假设。弄清楚该用哪一个主要取决于经验。以下是主要案例（但您很快就会遇到此处未涉及的案例）：

```
destruct
```
只是将假设分解为几个部分。它会丢失有关依赖项和递归的信息。一个典型的例子是
```
destructh
```
，其中
```
H
```
是一个连词
```
H:A/\B
```
，它将
```
H
```
分为
```
A
```
和
```
B
```
两种类型的独立假设；或者双重
```
destructh
```
，其中
```
H
```
是一个析取
```
H:a\/B
```
，它将证明分成两个不同的子类，一个是假设
```
a
```
，另一个是假设
```
B
```
```
case_eq
```
类似于
```
destruct
```
，但保留了该假设与其他假设之间的联系。例如，
```
destruct n
```
其中
```
n:nat
```
将证明分为两个子类，一个子类用于
```
n=0
```
，另一个子类用于
```
n=sm
```
。如果在其他假设中使用了
```
n
```
（即，你有一个
```
H:pn
```
），你可能需要记住，你破坏的
```
n
```
与这些假设中使用的
```
n
```
是相同的：
```
case\u eq n
```
就是这样做的
```
反演
```
对假设类型进行案例分析。当
```
destruct
```
会忘记的假设类型中存在依赖项时，它特别有用。您通常会对
```
集合
```
中的假设使用
```
case_eq
```
（等式相关）和
```
反转
```
对
```
Prop
```
中的假设（具有非常依赖的类型）。
```
inversion
```
策略留下了大量的等式，之后通常是
```
subst
```
，以简化假设。
```
inversion\u clear
```
策略是
```
inversion的简单替代方案；subst
```
但会丢失一点信息
```
归纳法
```
意味着您将通过对给定假设的归纳法（=递归）来证明目标。例如，
```
inclusion n
```
其中
```
n:nat
```
意味着您将执行整数归纳，并证明基本情况（
```
n
```
替换为
```
0
```
）和归纳情况（
```
n
```
替换为
```
m+1
```
）

您的示例非常简单，您可以通过对

的案例分析来证明这一点

Lemma has2b2: forall a:three, a<>zero/\a<>one ->a=two.
Proof. destruct a; tauto. Qed.

这个目标看起来不可能实现。我们可以告诉Coq，在这里它可以自动发现矛盾（

zero=zero

is obvi

Inductive three := zero | one | two .

Lemma test : forall a, a <> zero /\ a <> one -> a = two.
Proof.
  intros a H.
  destruct H. (* to get two parts of conjunction *)
  destruct a. (* case analysis on 'a' *)
(* low-level proof *)
  compute in H. (* to see through the '<>' notation *)
  elimtype False. (* meaning: assumptions are contradictory, I can prove False from them *)
  apply H.
  reflexivity.
(* can as well be handled with more high-level tactics *)
  firstorder.
(* the "proper" case *)
  reflexivity.
Qed.

Lemma has2b2: forall a:three, a<>zero/\a<>one ->a=two.
Proof. destruct a; tauto. Qed.

H : zero <> zero /\ zero <> one
============================
 zero = two

elimtype False. tauto.

destruct H as [H0 H1].

contradiction H0. reflexivity.

assert (F : False).

apply H0.

reflexivity.

destruct F.