Coq中的异构列表

我正在考虑编写一个Coq程序来验证的某些属性。我已经有了一些基本的数据类型，但是连接元组给我带来了一些麻烦

以下是代码的相关部分：

Require Import List.
Require Import String.

(* An enum representing SQL types *)
Inductive sqlType : Set := Nat | Bool.

(* Defines a map from SQL types (which are just enum values) to Coq types. *)
Fixpoint toType (t : sqlType) : Set :=
  match t with
    | Nat => nat
    | Bool => bool
  end.

(* A column consists of a name and a type. *)
Inductive column : Set :=
  | Col : string -> sqlType -> column.

(* A schema is a list of columns. *)
Definition schema : Set := list column.

(* Concatenates two schema together. *)
Definition concatSchema (r : schema) (s : schema) : schema := app r s.

(* Sends a schema to the corresponding Coq type. *)
Fixpoint tuple (s : schema) : Set :=
  match s with
    | nil => unit
    | cons (Col str t) sch => prod (toType t) (tuple sch)
  end.

Fixpoint concatTuples {r : schema} {s : schema} (a : tuple r) (b : tuple s) : tuple (concatSchema r s) :=
  match r with
    | nil => b
    | cons _ _ => (fst a , concatTuples (snd a) b)
  end.

在函数concatTuples中，在nil情况下，CoqIDE给我一个错误：

"The term "b" has type "tuple s" while it is expected to have type "tuple (concatSchema ?8 s)"."

我想我知道那里发生了什么；类型检查器无法判断

s

和

concatSchema nil s

是否相等。但我发现更奇怪的是，当我添加以下行时：

Definition stupid {s : schema} (b : tuple s) : tuple (concatSchema nil s) := b .

如果将case改为

nil=>dumby b

，它就可以工作了。（好吧，它仍在投诉cons案，但我认为这意味着它接受了nil案。）

关于这一点，我有三个问题：

有没有办法消除

愚蠢的
？似乎Coq知道类型是相等的，它只需要一些提示

我到底该怎么办呢？我在编写一个类似

的愚蠢函数时遇到了很多麻烦

这甚至是处理异构列表的正确方法吗？对我来说，这似乎是最简单的一个，但我对Curry Howard以及Coq代码的实际含义的理解非常松散

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这是Coq新手经常遇到的问题之一：无法向Coq展示如何使用在

match

语句分支中获得的附加信息

解决方案是使用所谓的重新抽象依赖于scrutinee的参数，并使

匹配
返回一个函数：

Fixpoint concatTuples {r : schema} {s : schema} : tuple r -> tuple s -> tuple (concatSchema r s) :=
  match r return tuple r -> tuple s -> tuple (concatSchema r s) with
    | nil => fun a b => b
    | cons (Col _ t) _ => fun a b => (fst a, concatTuples (snd a) b)
  end.

在这种特殊情况下，实际上不需要
返回
注释，因为Coq可以推断它。然而，当事情有点不对劲时，忽略它通常会导致无法理解的错误消息，所以最好将它们保留在其中。请注意，我们还必须在列表的第一个元素（
Col\ut
pattern）中包含嵌套匹配，以便在
tuple
的定义中模拟该模式。再次详细解释了这里发生的事情以及如何在Coq中编写此类函数

为了回答你的最后一个问题，对异构列表的许多开发或多或少与你在这里所做的相同（例如，我有一个与此非常相似的开发）。如果我必须更改任何内容，我会删除
元组定义中的嵌套模式，这允许您编写此类代码，同时使用更少的
匹配和注释。比较：

Definition typeOfCol c :=
  match c with
  | Col _ t => t
  end.

(* Sends a schema to the corresponding Coq type. *)
Fixpoint tuple (s : schema) : Set :=
  match s with
    | nil => unit
    | cons col sch => prod (toType (typeOfCol col)) (tuple sch)
  end.

Fixpoint concatTuples {r : schema} {s : schema} : tuple r -> tuple s -> tuple (concatSchema r s) :=
  match r return tuple r -> tuple s -> tuple (concatSchema r s) with
    | nil => fun a b => b
    | cons _ _ => fun a b => (fst a, concatTuples (snd a) b)
  end.

你可以找到这个问题的其他例子。
我会尽量避免这么多，呃，“类型变量”。你到底是什么意思？