如何使用加公共性和结合性重新排列Coq中的术语？

我有一个关于如何在Coq中重新排列术语的一般性问题。例如，如果我们有一个术语

m+p+n+p

，人类可以快速地将这些术语重新排列为类似

m+n+p+p

（隐式使用plus\u comm和plus\u assoc）。我们如何在Coq中有效地做到这一点

举个（愚蠢的）例子

Require Import Coq.Arith.Plus.
Require Import Coq.Setoids.Setoid.

Theorem plus_comm_test: forall n m p: nat,
  m + p + (n + p) = m + n + 2 * p.
Proof. intros. rewrite plus_assoc. simpl. rewrite <- plus_n_O.

我的问题是:

如何有效地将LHS重写为

m+n+p+p

我尝试在2处使用

rewrite plus\u comm

，但它给出了一个错误

无需重写。

只需使用rewrite

plus\u comm

即可将LHS更改为

p+m+n+p

任何关于有效重写的建议都是欢迎的

谢谢。

在这种特殊情况下（整数上的线性算术），您可以使用

omega

策略：

Require Import Omega.

Theorem plus_comm_test: forall n m p: nat,
  m + p + (n + p) = m + n + 2 * p.
Proof. intros; omega. Qed.

然而，有些情况下，

omega

是不够的。在这些情况下，标准的

重写
策略不是很方便。该库提供了自己版本的
rewrite
策略，对于任务（如根据目标的子项进行重写）效果更好。例如：

Require Import Ssreflect.ssreflect Ssreflect.ssrfun Ssreflect.ssrbool.
Require Import Ssreflect.ssrnat.

Theorem plus_comm_test: forall n m p: nat,
  m + p + (n + p) = m + n + 2 * p.
Proof.
move=> n m p.
by rewrite -addnA [p + _]addnC -[_ + p]addnA addnn -mul2n addnA.
Qed.

方括号中的注释，如
[p+\uz]
，提供了帮助
重写策略确定行动方向的模式。
addn*
引理和朋友是Ssreflect对自然数的标准算术结果的自己版本。
正如Arthur所说，有时ω是不够的，但我有时会将其用于像这样的简单步骤

Require Import Omega.
Theorem test: forall a b c:nat, a + b + 2 * c = c + b + a + c.
  intros.
  replace (c + b + a) with (a + b + c) by omega.
  replace (a + b + c + c) with (a + b + (c + c)) by omega.
  replace (c + c) with (2 * c) by omega.
  reflexivity.
Qed.

这是一个愚蠢的例子，因为
omega
本可以一次解决所有问题，但有时您希望重写函数内部的内容，而
omega
如果没有一点帮助就无法触及这些内容…
环
策略能够证明这些重新排列是平等的

以您的例子：

Require Import ZArith.
Open Scope Z_scope.

(* Both "ring" and "omega" can prove this. *)
Theorem plus_comm_test : forall n m p : Z,
  m + p + (n + p) = m + n + 2 * p.
Proof.
  intros.
  ring.
Qed.

(* "ring" can prove this but "omega" cannot. *)
Theorem rearrange_test : forall a b c : Z,
  a * (b + c) = c*a + b*a.
Proof.
  intros.
  ring.
Qed.

ring
对整数有效，但我认为对自然数无效

然而，
ring
能够证明一些
omega
无法证明的恒等式。（比如，“乘法由ω处理，但只有乘积的两个被乘数中至少有一个是常数的目标才可解。这就是“Presburger算术”的限制。）

例如：

Require Import ZArith.
Open Scope Z_scope.

(* Both "ring" and "omega" can prove this. *)
Theorem plus_comm_test : forall n m p : Z,
  m + p + (n + p) = m + n + 2 * p.
Proof.
  intros.
  ring.
Qed.

(* "ring" can prove this but "omega" cannot. *)
Theorem rearrange_test : forall a b c : Z,
  a * (b + c) = c*a + b*a.
Proof.
  intros.
  ring.
Qed.

谢谢你的回答。但我所展示的是关于
nat
的更大证明的一部分。
m+p+n+p
部分包含在其他内容中。同时，我也在努力学习Coq是如何工作的。你知道一种更原始的Coq方法来做这件事而不涉及外部库吗？我希望我知道。。。我个人永远也不知道如何在标准Coq中学习
rewrite
的所有功能的语法。我相信当使用
Setoid
库时，可能会有一个错误导致选择发生错误，但我不确定。在任何情况下，您都可以显式地向引理提供参数，这有助于避免在某些情况下出现歧义，例如，
rewrite您还可以使用
assert
分别使用
omega
来证明您想要的等式，然后直接用它重写。我似乎记得setoid_rewrite会以我想要的方式执行比rewrite更多的操作，特别是当使用
at
重写第n次出现时。这绝对是一种痛苦。