C 超平面上的一致采样

给定向量大小N，我想生成一个向量

，它

s1+s2+…+sn=S

已知

0虽然代码相当复杂，但它似乎能做到这一点

我可能会选择一种更简单的基于拒绝的算法，即：从超平面的法向量开始，在
n
维空间中选择一个正交基。将每个点（S，0,0,0..0），（0，S，0,0..0）转换为该基，并沿每个基向量存储最小值和最大值。在新基中对每个分量进行均匀采样，但第一个分量（法向量）除外，该分量始终为S，然后变换回原始空间并检查约束是否满足。如果不是，请再次取样

另外，我认为这更像是一个数学问题，实际上，在或上提问可能是一个好主意。[为了简单起见，我将跳过“hyper-”前缀]

一个可能的想法是：在某个封闭体中生成许多均匀分布的点，并将它们投影到平面的目标部分

为了获得均匀分布，体积的形状必须类似于平面的一部分，但沿平面法线增加了边距

要在这样的体积中均匀地生成点，我们可以将其封装在立方体中，并拒绝体积之外的所有内容

选择margin，为了简单起见，我们取margin=s（一旦margin为正值，它只会影响性能）
在立方体中生成点[-M，S+M]x[-M，S+M]x[-M，S+M]
如果到平面的距离大于M，则拒绝该点并转到#2
在平面上投影点
检查投影是否属于[0，S]x[0，S]x[0，S]，如果不是-拒绝并转到#2
将此点添加到结果集中，然后转到#2，因为您需要更多点
这个问题可以映射到线性多面体上的采样问题，对于线性多面体，常用的方法有蒙特卡罗方法、随机游动和点击-运行方法（参见示例中的简短比较）。它与线性规划有关，可以推广到流形。
成分数据分析中还有多面体分析，例如，它提供了平面和多面体之间的可逆转换，可用于采样

如果您正在处理低维问题，还可以使用拒绝采样。这意味着您首先在包含多面体（由不等式定义）的平面上采样。后一种方法很容易实现（当然也是浪费），下面的GNUOctave（我让问题的作者用C重新实现）代码就是一个例子

第一个要求是得到与超平面正交的向量。对于N个变量的总和，这是N=（1，…，1）。第二个要求是平面上的点。例如，可以是p=（S，…，S）/N

现在平面上的任意点满足n^T*（x-p）=0

我们还假设x_i>=0

使用这些函数，计算平面上的正交基（向量n的零度），然后在该基上创建随机组合。最后，映射回原始空间，并对生成的样本应用约束

#3D中的示例
dim=3；
S=1；
n=一（尺寸，1）；#垂直向量
p=S*尺寸（尺寸，1）/尺寸；
#垂直向量的零空间（转置，即行向量）
#这将在平面中生成一个基
V=零（n.）；
#这些步骤只是为了减少被拒绝的样本数量
#我们构建一个紧密的边界框
bb=S*眼睛（昏暗）#每列都是受约束区域的一个角
#在空空间上投影
w_bb=V\（bb-repmat（p，1，dim））；
wmin=min（w_-bb（：）；
wmax=max（w_bb（：）；
#随机组合和映射回
nsamples=1e3；
w=wmin+（wmax-wmin）*兰德（dim-1，nsamples）；
x=V*w+p；
#遮罩多边形内的点
msk=真（1，n样本）；
对于i=1:dim
msk&=（x（i，：）>=0）；
外循环
x_in=x（：，msk）；#多面体内部（您的样本）
x_out=x（：，！msk）；#多面体之外
#绘制结果
散射体3（x（1，：），x（2，：），x（3，：），8，双（msk），‘填充’；
等等
图3（bb（1，：）、bb（2，：）、bb（3，：）、‘xr’）
轴图像

一个简单的解决方案是迭代生成范围
（0，S-sum）
中的数字，其中
sum
是迄今为止生成的所有数字的总和，然后洗牌列表。不过，我认为它不够统一|一个问题：元素s1、s2、…sn是否来自输入向量？如果是这样的话，这个问题等价于子集和问题，我们就无法有效地知道给定向量中是否有一组数字和S求和，更不用说找到一个大小为n的随机样本了。n个数字达到实分布的S的正和的概率是0。对于浮点，它在2^-50的附近。虽然这个想法可能适用于整数，但对于实数来说却失败得很惨。看起来不错，但从第一眼看，它似乎不是“拒绝采样”。你能不能再简单描述一下这个方法是如何实现的？那里的“摘要”没有足够的信息来理解如何实现它。我不确定我是否遵循。你能解释一下为什么修改后的拒绝概率不等于0以匹配总和（在每次迭代中）<代码>s1+s2+s3+…+sn

是正态分布的（对于足够大的n），正态分布数成为某个任意数的概率为0。我不建议匹配总和，而是只对

n-1

维度进行采样。这样，在变换之后，任何结果点都将位于超平面上，但我们仍然必须检查它是否在边界内。例如，对于3d，我们将从超平面上的某个正方形区域采样，然后拒绝不属于三角形的样本。它的大o是什么？效率越高越好。