C 球面与直线相交的参数方程与代数方程的区别

我正在用C写一个光线跟踪器，为了画一个球体，我使用笛卡尔方程：

x^2 + y^2 + z^2 = R^2.

我有我的眼睛位置（x_眼睛，y_眼睛，z_眼睛）和我的眼睛向量（Vx，Vy，Vz）。 我的直线的参数方程为：

x = x_eye + k * Vx  
y = y_eye + k * Vy  
z = z_eye + k * Vz

我把我的线的参数方程放在球的笛卡尔方程中去解它

(x_eye + k * Vx)^2 + (y_eye + k * Vy)^2 + (z_eye + k * Vz)^2 = R^2  

(Vx^2 + Vy^2 + Vz^2) * k^2 + 2 * (x_eye*Vx + y_eye*Vy + z_eye*Vz) * k + (x_eye^2 + y_eye^2 + z_eye^2 - R^2) = 0  

现在我得到了一个类似于ax^2+bx+c=0的方程，并用以下公式定义了a，b，c：

a = (Vx^2 + Vy^2 + Vz^2) * k^2  
b = 2 * (x_eye * Vx + y_eye * Vy + z_eye * Vz) * k  
c = (x_eye^2 + y_eye^2 + z_eye^2 - R^2)  

然后，如果存在交点，我可以为每个像素找到k（b^2-4.a.c>=0）

但是，有没有其他方法可以用这些线和球的参数方程来求k
行：

对于球体：

x = R.cos(u).cos(v)  
y = R.sin(u).cos(v)  
z = R.sin(v)  

我如何用这两个参数方程找到k？
我该怎么办

x_eye + k * Vx  = R.cos(u).cos(v)  
y_eye + k * Vy  = R.sin(u).cos(v)  
z_eye + k * Vz  = R.sin(v)  

解决这个系统

x_eye + k * Vx  = R.cos(u).cos(v)  
y_eye + k * Vy  = R.sin(u).cos(v)  
z_eye + k * Vz  = R.sin(v)

首先将每个方程的两边平方，然后将所有三个方程相加。然后使用三角恒等式简化右侧，直到得到

(x_eye + k * Vx)^2 + (y_eye + k * Vy)^2 + (z_eye + k * Vz)^2 = R2  

这和你之前得到的

k

的方程是一样的

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但总的来说，这可能不是一个切实可行的方法。因为您正在尝试编写光线跟踪器，所以不希望手动求解每个方程。相反，使用一些系统求解算法。一个好的起点可能是查找一些关于牛顿法和割线法的信息。任何关于数值分析的入门教材都应该包含大量的信息，让你开始学习

所以你的问题基本上是“解决球面光线相交的最佳方法是什么”。我认为从编码的角度来看，您已经在使用最好的方法，即求解二次方程（这正是我在光线跟踪项目中所做的。我认为这是最好的方法的原因很少：

它是分析性的，即不需要数值迭代

要计算球体是否被击中，您不必调用任何

math.h

函数，也就是说，您可以使用b^2-4.a.c>=0计算交点的判别式（如您所指出的）

如果您需要进一步计算交点，那么只需进行一次

sqrt（）

函数调用。我预计这将比多次调用trig.functions加上Newton-Raphson更快，而且代码也会少得多（总是一件好事！）

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使用球体的参数方程会使你必须求解的方程复杂化，因为你引入了额外的变量

u

和

v

。你想这样做有什么特别的原因吗？我试图理解它是如何工作的，以便绘制其他更复杂的对象，如迪尼的曲面、男孩的曲面或莫比曲面美国环。我想知道一些光线跟踪器是如何绘制复杂对象的，我认为它们使用参数方程。引入新变量并不是一个真正的问题，因为变量

u

和

v

实际上取代了

x

、

y

和

z

。事实上，原始系统有4个变量（

x

、

y

、

z

和

k

）而新版本只有3个。真正的困难在于引入触发功能。

(x_eye + k * Vx)^2 + (y_eye + k * Vy)^2 + (z_eye + k * Vz)^2 = R2