C 我可以计算双精度引入的误差吗？

假设我有一个无理数，如

\sqrt{3}

。因为它是非理性的，所以它没有十进制表示。因此，当您试图用IEEE 754 double表示它时，您将引入一个错误

具有大量数字的十进制表示法是：

1.7320508075688772935274463415058723669428052538103806280558069794519330169088
  00037081146186757248575675...

现在，当我计算

\sqrt{3}

时，我得到

1.732051

：

#include <stdio.h> // printf
#include <math.h>   // needed for sqrt

int main() {
    double myVar = sqrt (3);
    printf("as double:\t%f\n", myVar);
}

有了这一个，我可以根据需要将错误降低到

2.0*10^-18

。所以我认为这可能足够接近，可以很好地估计误差。我写道：

#include <stdio.h> // printf
#include <math.h>  // needed for sqrt
#include <float.h>

int main() {
    double myVar = sqrt (3);
    long double r = sqrtl(3.0L);
    long double error = abs(r-myVar) / r;
    printf("Double:\t\t%f\n", myVar);
    printf("Precision:\t%d digits; %.*Lg\n",LDBL_DIG,LDBL_DIG,r);
    printf("Error:\t\t%.*Lg\n", LDBL_DIG, error);
}

---

如何修复该错误？

您在这里打印

Double:1.732051

时出错

printf（“Double:\t\t%f\n”，myVar）

双myVar的实际值为

1.732050807568877281 //18 digits

因此，1.732050807568877281-1.732050807568877281为零
printf
在使用
%f
时，无精度时，轮数加倍到6位

e、 g

我的输出：
-0.0000000000000000 4445

如果结果为0，则您的
长双精度
和
双精度
是相同的。
根据C标准
printf（“%f”，d）
将默认为小数点后的6位数字。这不是你的双精度的全部精度

在您的体系结构中，double和longduble可能恰好是相同的。在我的体系结构中，它们有不同的大小，在您的示例代码中有一个非零错误。
每个程序员都应该了解Goldberg的浮点算法，这是您正在寻找的明确指南

在计算错误时，至少在使用C时，您希望使用
fabsl
而不是
abs
。（在C中，
abs
是整数）。通过此替换，我得到：

Double:     1.732051
Precision:  18 digits; 1.73205080756887729
Error:      5.79643049346087304e-17

（在Mac OS X 10.8.3和Apple clang 4.0上计算。）

使用
long double
估计
double
中的误差对于一些简单的计算来说是一种合理的方法，除了：


如果您正在计算更精确的
长双精度
结果，为什么还要费心于
双精度
计算序列中的错误行为很难描述，并且可能发展到
long double
无法提供准确结果的准确估计的程度
存在一些反常的情况，
长双精度
得到的结果不如
双精度
得到的结果准确。（大多数情况下，当有人构建一个例子来给学生上一课时会遇到，但他们仍然存在。）

一般来说，在一系列计算中，没有简单有效的方法来计算浮点结果中的误差。如果有，它将是一种有效的计算更精确结果的方法，我们将使用它，而不仅仅是浮点计算

在特殊情况下，例如在开发数学库例程时，会仔细研究特定代码序列导致的错误（并根据需要重新设计代码，以获得可接受的错误行为）。更常见的是，通过执行各种“实验”来估计误差，以了解结果随输入变化的程度，或者通过研究系统的一般数学行为来估计误差

你还问“我想得到一个函数，它给出任何数字的误差。”好吧，这很简单，给定任何数字x和计算结果x'，误差正好是x'-x。实际的问题是，您可能没有可以用来轻松计算该表达式的x描述。在您的示例中，x是sqrt（3）。显然，那么，误差是sqrt（3）–x，x正好是1.732050807568871931766041234368485839023590087890625。现在您需要做的就是评估sqrt（3）。换句话说，数值计算误差与数值计算原始数值一样困难

您是否希望对某类数字执行此分析

另外，您是真的想计算错误还是仅仅计算错误的一个好界限？后者稍微容易一些，尽管对于计算序列来说仍然很困难。对于所有基本操作，IEEE 754要求生成的结果必须是最接近数学精确结果的结果（在所用舍入模式的适当方向上）。在“四舍五入”模式下，这意味着每个结果与精确结果之间的距离最多为1/2 ULP（最小精度单位）。对于标准数学库（正弦、对数等）中的运算，大多数库将在精确结果的几个ULP内生成结果。
获得保证包含计算实际值的区间的一种方法是使用。然后，将
double
结果与间隔进行比较，可以告诉您
double
计算与实际计算的最差距离

Frama-C的值分析可以通过选项
-所有舍入模式
为您实现这一点

double Frama_C_sqrt(double x);

double sqrt(double x)
{
  return Frama_C_sqrt(x);
}

double y;

int main(){
  y = sqrt(3.0);
}

使用以下工具分析程序：

frama-c -val t.c -float-normal -all-rounding-modes
[value] Values at end of function main:
      y ∈ [1.7320508075688772 .. 1.7320508075688774]

这意味着
sqrt（3）
的实际值，以及如果程序使用实数计算，则变量
y
中的值，都在
双
范围内
[1.732050807568772..1.732050807568774]

Frama-C的值分析不支持
long-double
类型，但如果我理解正确，您只是使用
long-double
作为参考来估计
double
的错误。这种方法的缺点是
长双精度
本身不精确。使用Frama-C值分析中实现的区间算法，可以保证计算的实际值在显示的范围内。
那么，您是在一个问题中问两个问题吗？你如何计算答案中的错误，以及第二段代码有什么问题？@迈克：是的，我问两个问题。我已经使第二个更精确了。所以如果第二个是
Double:     1.732051
Precision:  18 digits; 1.73205080756887729
Error:      5.79643049346087304e-17

double Frama_C_sqrt(double x);

double sqrt(double x)
{
  return Frama_C_sqrt(x);
}

double y;

int main(){
  y = sqrt(3.0);
}

frama-c -val t.c -float-normal -all-rounding-modes
[value] Values at end of function main:
      y ∈ [1.7320508075688772 .. 1.7320508075688774]