C FFTW库：验证傅里叶变换导数属性

我正在尝试验证与fftw库的这种关系：

因此，我选择f为高斯，计算其导数的傅里叶变换，并将其与高斯乘以ik的傅里叶变换进行比较。以下是我得到的：

这很奇怪，特别是因为高斯导数（即红色导数）的傅里叶变换图在原点不是0，而应该是（我用解析图检查）

代码对我来说似乎没问题，不管怎样，它就在这里（我使用的是C）：

intmain（）{
int i，N=100；
双v[N]，x[N]，k[N/2+1]，vd[N]；
双dx=2*pi/N，dk=2*pi/（N*dx），tmp；
fftw_复合体*out；
fftw_计划正向、反向；
out=（fftw_复合体*）fftw_malloc（尺寸）（fftw_复合体）*（N/2+1））；
正向=fftw\U平面图\U dft\U r2c\U 1d（N，v，out，fftw\U估算值）；
反向=fftw_平面图_dft_c2r_1d（N，out，vd，fftw_估计值）；
//初始化数组
对于（i=0；i

---

有谁能告诉我我做错了什么吗？

导出高斯函数的离散化信号应该是：

        x[i] = dx*i;
        v[i] = -2*x[i]*exp( -pow( x[i], 2) );

然而，离散傅里叶变换对应于周期信号的傅里叶变换。实际上，下面的离散化函数被写为正弦波的无限加权和

因此，当应用DFT时，上述离散化信号对应于高斯函数导数的周期性一半。事实上，它的平均值（零频率）不是零，因为所有的值都是负值

要模拟高斯（或“有限”范围的任何其他信号）的导数，必须覆盖信号的整个范围。因此，必须选择

dx

，以便

dx*N>>σ

，其中

σ

是高斯分布的标准偏差。必须涵盖函数的所有支持，包括导数的正面

你能试试这样的东西吗

        double sigma=dx*N*0.1;
        x[i] = dx*i-dx*(N/2);
        v[i] = -2*x[i]*exp( -pow( x[i]/sigma, 2) );

由于标准偏差的值，必须留有标度

---

DFT对于非周期函数仍然有用，但非周期函数将通过使用。这里观察到的是，应用一个矩形窗口，周期化，然后推导与应用一个矩形窗口，最后周期化的推导不同。虽然都是线性的，但这些运营商不会通勤

请在您的问题中直接发布（相关）代码，而不是代码图像的链接。请注意，虽然这种关系适用于傅里叶变换，但离散傅里叶变换并不那么简单。是的，原则上您是对的，但我检查了（例如这里：）它应该仍然有效。这根本没有提到DFT。一个明显的错误是

k

只有大小

N/2+1

，但是你初始化它就像它有大小

N

（

N

在

for

循环中应该

N/2

）设置

sigma=dx=1

应该很好，使计算更容易。我从中得到了一个很好的DFT，我同意你关于周期性的论点，事实上我应该变换一个在“盒子”的极端具有相同值的函数。问题是，据我所知，FFTW的工作方式是，输出阵列的第一个元素与频率原点相关联，因此每当我变换一个不是从原点开始的信号时，我就会遇到问题（顺便说一句，如果你知道如何解决这一问题，那就太好了）。我试过用高斯函数，它从原点开始，以方框的一半为中心，但这些曲线图还是很不一样。@Mike：事实上，这是比矩形窗口更精细的窗口背后的想法。大多数窗口的特征值在边缘附近趋于零，以便恢复连续的周期信号，并避免引入人为的不连续性，从而污染导数的估计。事实上，某些窗口的边缘具有零导数，因此即使周期信号的一阶导数也保持平滑。您可以尝试应用Tukey窗口@米肯：这里不需要窗口功能。您需要确保在您的

v[i]

中有完整的高斯分布，原点在

v[0]

，周期为

v[i]

：

v[i+size]

应从

-1

到

-size/2

填充

i

。通过这种方式，您可以将整个内核放入信号中，并且仍然具有DFT所需的原点。如果

v

足够大，高斯分布不会在任何地方引入任何间断。

        double sigma=dx*N*0.1;
        x[i] = dx*i-dx*(N/2);
        v[i] = -2*x[i]*exp( -pow( x[i]/sigma, 2) );