Computer science 彩色边图中的最短路径

在无向连通图中，每条边都有一种颜色（红色、绿色或蓝色）。
有效路径是每种颜色至少有一条边的路径。
问题是如何找到最短有效路径或确定不存在最短有效路径

我尝试使用BFS，但无法找到解决方案。

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有没有关于如何开始的想法？

我会使用BFS，从每个节点开始，我会计算从该节点可以发现的第一条有效路径，保存该值，然后转到下一条

图形可以用矩阵表示，每个边的颜色（例如，-1（无边），0,1,2）作为矩阵中边的值

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当您发现这些路径时，可以将它们放入一对数组中，一个保存路径中的步骤，另一个检查三种颜色

首先，我假设颜色的数量是固定的。 然后，我将提出一种标签设置Dijkstra算法（与Pareto-Dijkstra相比），其运行时间为O（n log（n）+m）：

使用广义Dijkstra查找最短路径： 每个节点都有一个标签列表，其中一个标签包含从开始节点开始的长度和所有已访问的颜色。 如果（1）一个标签的长度较短，并且（2）它包含其他标签的所有颜色，则该节点中的一个标签将支配另一个标签。主控标签直接移除。 与dijkstra类似，您可以保留一个优先级队列，从该队列中，您可以始终放松长度较小的节点。将边移到节点v将使标签的长度增加端点长度，并将边的颜色添加到标签。标签将添加到节点v的标签列表中。 使用包含所有三种颜色的标签设置目标节点时，您已经找到了最短路径。 请注意，如果要在末端重建最短路径，则必须为每个标签保存前置节点

从起始节点的初始标签（0，{}）（长度为零，没有颜色）开始

每个节点在每个颜色集组合中最多可以设置一次，因为只有8个（固定的）这样的组合。在这种情况下，运行时间等于Dijkstra算法 这是O（n*log（n）+m）的最佳实现。

要创建一个新图形（6次），它由原始图形的三个副本组成，第一个副本仅包括一种颜色的边，第二个副本还包括另一种颜色的边，并将它们与第二种颜色的边连接，第三个副本将具有所有边，并与第二个图形连接，该图形具有第三种颜色的边。 然后运行dijkstra查找从s1到t3的最短路径。

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由于我们不知道什么是顺序，我们将对全部6种可能的颜色顺序执行相同的操作，然后从我们得到的6条最短路径中选择最短路径。

确实存在一个简单的解决方案，如下所示

假设没有颜色，在图上做一个正常的dijkstra

猜猜每种颜色的三条边。对于所有m^3可能的猜测，让边为r1---r2，b1---b2，g1---g2，我们得到了24种可能的路径方式（8种用于确定边的方向，6种用于排列）

因为你已经有了正常的dijkstra数据，一旦你完成了这个，你会在固定的时间内得到结果，最小化所有的猜测

对所有n个顶点重复此操作

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我确实同意最后的复杂度O（nm^3）通常太大，但有时琐碎的算法可以工作

这个问题可以通过产品结构来解决。创建一个新的有向图，其中每个顶点是原始图中的一对顶点和颜色的子集。（因此，对于3种颜色，对于原始图形中的每个顶点，新图形中将有8个顶点。）如果原始图形中的顶点之间存在边，且目标顶点的颜色集等于源顶点的颜色集加上原始图形中的边颜色，则在新图形中的两个顶点之间添加边（如果颜色已在源顶点的颜色集中，则不会更改）。新边应具有与原始边相同的权重

然后新图形中的最短路径从（s，∅) to（t，{red，green，blue}）对应于使用所有3种颜色的原始图中从s到t的最短路径。由于新图中只有线性更多的顶点和边（假设一个固定的颜色集），该问题可以像普通最短路径问题一样快地渐近求解

作为一个实现细节，请注意，不需要在内存中实际记录整个乘积图。可以在运行最短路径算法时动态生成顶点和边，从而允许完全跳过未使用的顶点

此方法与略有不同，因为它扩展了顶点标签而不是路径权重

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我已经提出并回答了这个问题的更一般形式。

在最坏的情况下，这不是需要很长的运行时间吗？好的，所有对最短路径通常是n^3，因此您的解决方案可能会有相当高的运行时间。一旦您确定了可行的解决方案形状，您应该能够找出如何保存r运行时间。这种方法没有描述到达目的地时会发生什么，但没有得到足够的颜色。需要一种方法来消除反弹，以完成解决方案。最后，您将（如果可能）有多个标签到达目的地。当第一个标签包含所有颜色（红色、绿色、蓝色）时，您停止算法是在目的地设置的，但不是更早。如果算法停止而没有找到这样的标签，则不可能使用所有三种颜色从s到t。我认为这不是正确的算法。如果我理解正确，这只允许路径更改两次颜色。但是，根据问题，路径是否有效f它至少改变两次颜色。