Coq：当只有一种情况时，对集合的道具执行反转

假设我有一些编程语言，具有“has-type”关系和“small-step”关系

Inductive type : Set :=
| Nat : type
| Bool : type.

Inductive tm : Set :=
| num : nat -> tm
| plus : tm -> tm -> tm
| lt : tm -> tm -> tm
| ifthen : tm -> tm -> tm -> tm.

Inductive hasType : tm -> type -> Prop :=
| hasTypeNum :
    forall n, hasType (num n) Nat
| hasTypePlus:
    forall tm1 tm2,
      hasType tm1 Nat ->
      hasType tm2 Nat ->
      hasType (plus tm1 tm2) Nat
| hasTypeLt:
    forall tm1 tm2,
      hasType tm1 Nat ->
      hasType tm2 Nat ->
      hasType (lt tm1 tm2) Bool
| hasTypeIfThen:
    forall tm1 tm2 tm3,
      hasType tm1 Bool ->
      hasType tm2 Nat ->
      hasType tm3 Nat ->
      hasType (ifthen tm1 tm2 tm3) Nat.

Inductive SmallStep : tm -> tm -> Prop :=
  ...

Definition is_value (t : tm) := ...

这里的关键细节是，对于每个术语变体，只有一个可能匹配的HasType变体

假设我想证明一个进步引理，但我也想从中提取一个解释器

Lemma progress_interp: 
  forall tm t, 
  hasType tm t -> 
  (is_value tm = false) -> 
  {tm2 | SmallStep tm tm2}.
intro; induction tm0; intros; inversion H.

这就产生了错误

反转需要对排序集进行案例分析，这是归纳定义hasType不允许的。

我理解它为什么这样做：

inversion

对sort

Prop

的值执行案例分析，我们不能这样做，因为它在提取的代码中被擦除

但是，因为术语变量和类型派生规则之间存在一对一的对应关系，所以我们实际上不必在运行时执行任何分析

理想情况下，我可以应用一组如下所示的引理：

plusInv: forall e t, hasType e t ->
  (forall e1 e2, e = plus e1 e2 -> hasType e1 Nat /\ hasType e2 Nat ).

每个例子都会有一个这样的引理（或者一个单独的引理是这些例子的结合）

我已经研究了

派生反转

，但它似乎并没有达到我在这里寻找的效果，尽管我可能没有正确地理解它

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有没有办法进行这种“只有一个案例的案例分析？”或者得到

Prop

证明所隐含的等式，这样我就只能在解释器中写出可能的案例？通过Ltac或派生机制，可以自动导出这些引理吗？

我认为

eexists

会起到作用：存在变量应该在sigma类型的证明过程中的某个点上填充（在这里，你可以自由使用

hasType

假设的

反转

）.

引理

加上_inv

可以通过对类型

tm

的案例分析而不是对类型

hasType

的案例分析来获得

Lemma plus_inv : forall e t, hasType e t ->
  (forall e1 e2, e = plus e1 e2 -> hasType e1 Nat /\ hasType e2 Nat ).
Proof.
intros e; case e; try (intros; discriminate).
intros e1 e2 t h; inversion h; intros e5 e6 heq; inversion heq; subst; auto.
Qed.

您的主要目标

进度证明\u interp

很可能可以执行 通过对

tm

结构的归纳，也可以得出结论。这相当于将解释器直接作为gallina递归函数编写

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你的问题有第二部分：这可以自动化吗。答案可能是肯定的。我建议使用软件包或软件包。这两个包都可以作为opam包使用。

我过去曾尝试过这一点，但在统一失败时经常会遇到问题，因为存在的解决方案不在它的范围内。是否有一个通用的解决方法？我认为

eexists

不是答案。如果这确实有效，那么逻辑系统的一致性（也与提取有关）将面临风险。我编辑了

plus_inv

：CoqThanks不接受前面的语句。对我来说，真正的关键是使它自动化，因为我所处理的语言比我在这里使用的玩具语言要多得多。我将看看模板Coq，它似乎非常有用！