Coq 有没有像在*中应用lem这样的东西？

是否有任何方法可以调用

在H中应用lem

以获得每个可能的H，比如

在*

中重写lem

Axiom P Q : nat -> Prop.
Axiom lem : forall (n : nat), P n -> Q n.
Goal P O -> P (S O) -> True.
  intros. apply lem in H. apply lem in H0.

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我找不到任何内置的东西，但可以用Ltac编写这样的策略

首先是特例

Axiom P Q : nat -> Prop.
Axiom lem : forall (n : nat), P n -> Q n.
Goal P O -> P (S O) -> True.
  intros.
  repeat match goal with
    x : _ |- _ => apply lem in x
  end.
Abort.

现在我们可以推广这个

Ltac apply_in_premises t :=
  repeat match goal with
    x : _ |- _ => apply t in x
  end.

然后像这样使用它：

Goal P O -> P (S O) -> True.
  intros.
  apply_in_premises lem.
Abort.

不幸的是，如果应用

lem

生成可以应用

lem

的其他内容，这种方法可能会导致无限循环

Axiom P : nat -> Prop.
Axiom lem : forall (n : nat), P n -> P (S n).
Ltac apply_in_premises t :=
  repeat match goal with
    x : _ |- _ => apply t in x
  end.

Goal P O -> P (S O) -> nat -> True.
  intros.
  apply_in_premises lem. (* infinite loop *)
Abort.

如果您对此感到担忧，您可以在评论中使用Yves建议的变体。只需将

apply t in x

更改为

apply t in x；还原x将确保该假设不会再次匹配。然而，最终结果将包含目标中的所有假设，如
P->G
，而不是
P:P
作为前提和
G
作为目标

要自动重新导入这些假设，我们可以跟踪假设被还原的次数，然后再次导入

Ltac intro_n n :=
  match n with
  | 0 => idtac
  | S ?n' => intro; intro_n n'
  end.

Ltac apply_in_premises_n t n :=
  match goal with
  | x : _ |- _ => apply t in x; revert x;
                  apply_in_premises_n t (S n)
  | _ => intro_n n (* now intro all the premises that were reverted *)
  end.

Tactic Notation "apply_in_premises" uconstr(t) := apply_in_premises_n t 0.

Axiom P : nat -> Prop.
Axiom lem : forall (n : nat), P n -> P (S n).

Goal P O -> P (S O) -> nat -> True.
  intros.
  apply_in_premises lem. (* only applies `lem` once in each of the premises *)
Abort.

在这里，策略
intro\u n n
应用
intro
n
次

一般来说，我还没有测试过这个，但是在上面的例子中它运行得很好。如果一个假设无法恢复，它可能会失败（例如，如果其他假设依赖于它）。它还可以对假设进行重新排序，因为当一个还原的假设被重新引入时，它会被放在假设列表的末尾。
您是否尝试了
在x中应用t；还原x
。最后，您的目标将包含所有新创建的假设。这并不完美，但它应该避免循环行为。@Yves，它工作得很好。我找到了一种方法来确保再次介绍所有的假设，等我有时间的时候再编辑。谢谢