Coq将不存在转换为forall语句

我是Coq的新手。这是我的问题。 我有一份声明说：

H : forall x : term, ~ (exists y : term, P x y /\ ~ P y x)

我想这相当于：

forall x y : term, (P x y /\ ~ P y x) -> false

---

但是，我可以使用哪种策略来转换该假设？

您可以使用

在H中展开非1

~P

只是

非P

的符号，根据定义

非P=（P->False）

。第1部分的

意味着你只想
展开
第一次出现的
不
，而第H部分的
意味着你只想
展开
假设
H
我不知道有什么策略可以把不存在变成不存在，但你总是可以
断言它并证明它。（如果你反复需要它，你可以把它打包成一个或一个简单的定理[1]。）

这里有三种方法来证明这一点。（您应该能够将此成绩单复制/粘贴到CoqIDE或Emacs/ProofGeneral中，并逐步完成代码。）

[1] 库中存在一个引理
not_exu_all_not
，但加载将引入经典逻辑的公理（这里甚至不需要）


（*
这是一个长版本，有一些解释：
*）

（*
您也可以在一条语句中完成：
*）

（*
像这样简单的东西也可以手工编写：
*）

（*
现在您有了正确类型的H；可以选择摆脱旧的H:
*）

实际上，您可以使用coq的库来直接证明它。只需使用Coq要求导出初始逻辑的

(* dummy context to set up H of the correct type, for testing it out *)
Lemma SomeName (term : Type) (P : term -> term -> Prop) :
  (forall x : term, ~ (exists (y : term), P x y /\ ~ P y x)) ->
  True. (* dummy goal *)
Proof.
  intro H.
  (* end dummy context *)

  (* this states the goal, result will be put into the context as H' *)
  assert (forall (x y : term), (P x y /\ ~ P y x) -> False) as H'.
    (* get rid of unneeded variables in context, get new args *)
    clear - H; intros x y Pxy.
    (* unfolding the not shows the computational structure of this *)
    unfold not at 1 in H.
    (* yay... (x, y, Pxy) will produce False via H *)
    (* specialize to x and apply... *)
    apply (H x).
    (* ...and provide the witness. *)
    exists y.  exact Pxy.
    (* done. *)

  (* let's do it again... *)
  clear H'.

  assert (forall x y, (P x y /\ ~ P y x) -> False) as H'
    by (clear -H; intros x y Pxy; apply (H x (ex_intro _ y Pxy))).

  (* and again... *)
  clear H'.

  pose proof (fun x y Pxy => H x (ex_intro _ y Pxy)) as H'; simpl in H'.

  clear H; rename H' into H.