如何在coq中证明（f1+；f1=f2+；f2->；f1=f2）

我是Coq的新手。我想证明一个引理：

Require Import Reals.
Open Scope R_scope.
Definition fadd (f g:R->R) := fun x => f x + g x.
Notation "f +f g" := (fadd f g) (at level 61, left associativity).
(** f+f = g+g->f=g **)
Lemma fun_add: forall f g, f +f f  = g  +f g  -> f = g.

但是我不知道怎么做，我已经证明了带环的plus-comm引理

Lemma fun_add_comm : forall f g, f +f g = g +f f.
Proof.
intros.
apply functional_extensionality.
intros.
unfold fadd.
ring.
Qed.

---

但是它在这方面似乎不起作用。

如果你想用CoQ做数学，我建议你看看SSReflect战术语言，以及数学组件库（和可用的书籍）

下面是使用此框架的引理的证明（可能有更简单的版本）

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请注意，此处用于函数相等的

=1

相等对应于函数扩展性（如果两个函数对任何参数的应用相等，则两个函数相等）。

使用的策略库附带一个自动验证扩展，称为

lra

。你可以从中受益

Require Import FunctionalExtensionality.
Require Import Reals Lra.
Definition fadd (f g:R->R) := fun x => f x + g x.
Notation "f +f g" := (fadd f g) (at level 61, left associativity).

Lemma fun_add: forall f g, f +f f  = g  +f g  -> f = g.
Proof.
intros f g adds.
apply functional_extensionality.
intros x.
assert (adds_on_x : (f +f f) x = (g +f g) x).
   rewrite adds.
   reflexivity.
unfold fadd in adds_on_x.
lra.
Qed.

这不容易辨认

---

fx+fx

实际上是

（f+ff）x

，因此您需要通过在

assert

命令的语句中显式表示来帮助系统。

=1

对应于函数的逐点相等，函数可扩展性是一个公理，它说的是

f=1g->f=g

；我不够精确。您给出的示例不是自包含的，您应该添加

Require Import FunctionalExtensionality.

作为第一行：这将有助于问题的未来读者。

Require Import Reals Lra.

Notation "f =1 g" := (forall x, f x = g x) (at level 80).
Notation "f +' g" := (fun x => f x + g x)%R (at level 61).

Goal forall (f g : R -> R), f +' f =1 g +' g -> f =1 g.
  intros f g H x.
  pose proof (H x) as Hx.
  lra.
Qed.

Require Import Reals Lra.

Notation "f =1 g" := (forall x, f x = g x) (at level 80).
Notation "f +' g" := (fun x => f x + g x)%R (at level 61).

Goal forall (f g : R -> R), f +' f =1 g +' g -> f =1 g.
  intros f g H x.
  pose proof (H x) as Hx.
  lra.
Qed.