Coq 逻辑：In_app_iff exercize

试图解决逻辑第一章中的In_app_iff练习，得出了这个怪物：

(* Lemma used later *)
Lemma list_nil_app : forall (A : Type) (l : list A),
    l ++ [] = l.
Proof.
  intros A l. induction l as [| n l' IHl'].
  - simpl. reflexivity.
  - simpl. rewrite -> IHl'. reflexivity.
Qed.

(** **** Exercise: 2 stars, standard (In_app_iff)  *)
Lemma In_app_iff : forall A l l' (a:A),
  In a (l++l') <-> In a l \/ In a l'.
Proof.
  intros A l l' a. split.
  + induction l as [| h t IHl].
    ++ (* l = [] *) destruct l' as [| h' t'].
       +++ (* l' = [] *) simpl. intros H. exfalso. apply H.
       +++ (* l' = h'::t' *) simpl. intros [H1 | H2].
          * right. left. apply H1.
          * right. right. apply H2.
    ++ (* l = h::t *) destruct l' as [| h' t'].
      +++ (* l' = [] *) simpl. intros [H1 | H2].
          * left. left. apply H1.
          * left. right. rewrite list_nil_app in H2. apply H2.
      +++ (* l' = h'::t' *) intros H. simpl in H. simpl. destruct H as [H1 | H2].
          * left. left. apply H1.
          * apply IHl in H2. destruct H2 as [H21 | H22].
            ** left. right. apply H21.
            ** simpl in H22. destruct H22 as [H221 | H222].
               *** right. left. apply H221.
               *** right. right. apply H222.
  + induction l as [| h t IHl].
    ++ (* l = [] *) simpl. intros [H1 | H2].
      +++ exfalso. apply H1.
      +++ apply H2.
    ++ (* l = h::t *) destruct l' as [| h' t'].
      +++ simpl. intros [H1 | H2].
          ++++ rewrite list_nil_app. apply H1.
          ++++ exfalso. apply H2.
      +++ simpl. intros [H1 | H2].
          ++++ destruct H1 as [H11 | H12].
              +++++ left. apply H11.
              +++++

我怎样才能从

H12

和

IHl

中得到

在（t++h'：：t'）

中的事实

因为H12处于分离状态。这足以推断出结论

在IHl中应用H12。

不起作用

---

请帮帮我。

有不同的方法

在这里，

IHl

的结论是目标条款之一，因此反向推理将非常有效

right. (* We will prove the right hand side of the disjunct. *)
apply IHl.
left.
apply H12.

向前推理也是可能的，尽管有点冗长。使用

assert

证明

IHl

实际需要的假设：

assert (preIHl : In a t \/ In a (h' :: t')).
- ...
- apply IHl in preIHl.
  apply preIHl.

---

旁注：完成此证明不需要对

l'

进行案例分析（您可以提出更简单的证明），而且

-

也是构建证明的有效方法（通常，它们按以下顺序使用：

-

，

+

，

*

，

-

，

+

，

+

，

**

，等等）@eponier“旁注：完成这个证明不需要对l'进行案例分析（你可以提出一个更简单的证明）”-你能在回答中给出一个如何做的提示吗？你可以用

simple

替换第一个

destruct l'

，例如，当使用

assert

策略时，我更喜欢使用大括号，例如，

assert（…）。{some_proof.}

而不是子弹（因为这不是案例分析）。只是风格问题。

assert (preIHl : In a t \/ In a (h' :: t')).
- ...
- apply IHl in preIHl.
  apply preIHl.