Coq 证明偶数+；偶数=偶数，使用策略相互感应

我在Coq中尝试了相互感应，我定义的第一种类型是

Inductive IsEven : nat -> Prop :=
  | EvenO : IsEven O
  | EvenS n : IsOdd n -> IsEven (S n)
with IsOdd : nat -> Prop :=
  | OddS n : IsEven n -> IsOdd (S n).

我现在想证明偶数之和是偶数。我可以通过定点和模式匹配来实现这一点：

Fixpoint even_plus_even (n m : nat) (evenn : IsEven n) (evenm : IsEven m) : IsEven (n + m) :=
match evenn with
  | EvenO => evenm
  | EvenS n' oddn' => EvenS (n' + m) (odd_plus_even n' m oddn' evenm)
end
with odd_plus_even (n m : nat) (oddn : IsOdd n) (evenm : IsEven m) : IsOdd (n + m) :=
match oddn with
  | OddS n' evenn' => OddS (n' + m) (even_plus_even n' m evenn' evenm)
end.

这定义了

偶数加偶数

和

奇数加偶数

。我现在想用一种更简洁的方法来证明这一点（最好不要使用许多预定义的引理来尽可能地保持代码的自包含性），但我还没走多远

具体地说，是否可以像我们在不动点上所能使用的那样，只用一个引理来证明

偶数加偶数

和

奇数加偶数

编辑：非常感谢您的回答，

引理。。。使用…

语法正是我想要的。其实

Lemma even_plus_even2 (n m : nat) (evenn : IsEven n) (evenm : IsEven m) : IsEven (n + m)
  with odd_plus_even2 (n m : nat) (oddn : IsOdd n)   (evenm : IsEven m) : IsOdd  (n + m).
Proof.
  induction evenn; simpl. assumption. constructor. auto.
  induction oddn;  simpl.             constructor. auto.
Defined.

---

生成与我原始问题中的

不动点

完全相同的证明项。

Coq中支持相互感应。我知道两种方法，但我只记得如何使用其中一种：

组合方案

以下是它的工作原理：

Scheme IsEven_ind2 := Induction for IsEven Sort Prop
  with IsOdd_ind2  := Induction for IsOdd Sort Prop.

Combined Scheme IsEvenOdd_ind from IsEven_ind2, IsOdd_ind2. 

Lemma foo: (forall (n: nat) (evenn: IsEven n), forall m (evenm: IsEven m), IsEven (n + m) ) /\
           (forall (n: nat) (oddn: IsOdd n), forall m (evenm: IsEven m), IsOdd (n + m)).
Proof.
apply IsEvenOdd_ind.
- now intros m hm.
- intros h hn hi m hm.
  rewrite plus_Sn_m.
  apply EvenS.
  now apply hi.
- intros h hn hi m hm.
  rewrite plus_Sn_m.
  apply OddS.
  now apply hi.
Qed.

引理

带

在这个问题上，我只是不知道如何完成它，但这是一个语法问题iirc：

Lemma foo: forall (n m: nat) (evenn: IsEven n) (evenm: IsEven m), IsEven (n + m)
with bar:  forall (n m: nat) (oddn: IsOdd n) (evenm: IsEven m), IsOdd (n + m).
Proof.
- intros n m hn; revert m; induction hn as [ | p hp]; intros m hm; simpl in *.
  + exact hm.
  + now apply EvenS; apply bar.
- intros n m hn hm; revert n hn; induction hm as [ | p hp]; intros n hn; simpl in *.
  + now apply bar; [ exact hn | apply EvenO ].
  + apply bar; [ exact hn | ].
    now apply EvenS.
(* can't Qed, I get a Error: Cannot guess decreasing argument of fix. *)
Qed.

编辑： 下面是带有解决方案的

引理的有效语法

Lemma foo (n: nat) (evenn: IsEven n): forall (m: nat) (evenm: IsEven m), IsEven (n + m)
 with bar (n: nat) (oddn:  IsOdd  n): forall (m: nat) (evenm: IsEven m), IsOdd  (n + m).
Proof.
- induction evenn as [ | p hp]; intros m hm; simpl in *.
  + exact hm.
  + now apply EvenS; apply bar.
- induction oddn as [p hp]; intros n hn; simpl in *.
  + apply OddS.
    now apply foo.
Qed.

在Coq中有相互感应的支持。我知道两种方法，但我只记得如何使用其中一种：

组合方案
以下是它的工作原理：

Scheme IsEven_ind2 := Induction for IsEven Sort Prop
  with IsOdd_ind2  := Induction for IsOdd Sort Prop.

Combined Scheme IsEvenOdd_ind from IsEven_ind2, IsOdd_ind2. 

Lemma foo: (forall (n: nat) (evenn: IsEven n), forall m (evenm: IsEven m), IsEven (n + m) ) /\
           (forall (n: nat) (oddn: IsOdd n), forall m (evenm: IsEven m), IsOdd (n + m)).
Proof.
apply IsEvenOdd_ind.
- now intros m hm.
- intros h hn hi m hm.
  rewrite plus_Sn_m.
  apply EvenS.
  now apply hi.
- intros h hn hi m hm.
  rewrite plus_Sn_m.
  apply OddS.
  now apply hi.
Qed.

引理
带
在这个问题上，我只是不知道如何完成它，但这是一个语法问题iirc：

Lemma foo: forall (n m: nat) (evenn: IsEven n) (evenm: IsEven m), IsEven (n + m)
with bar:  forall (n m: nat) (oddn: IsOdd n) (evenm: IsEven m), IsOdd (n + m).
Proof.
- intros n m hn; revert m; induction hn as [ | p hp]; intros m hm; simpl in *.
  + exact hm.
  + now apply EvenS; apply bar.
- intros n m hn hm; revert n hn; induction hm as [ | p hp]; intros n hn; simpl in *.
  + now apply bar; [ exact hn | apply EvenO ].
  + apply bar; [ exact hn | ].
    now apply EvenS.
(* can't Qed, I get a Error: Cannot guess decreasing argument of fix. *)
Qed.

编辑：
下面是带有

解决方案的

引理的有效语法

Lemma foo (n: nat) (evenn: IsEven n): forall (m: nat) (evenm: IsEven m), IsEven (n + m)
 with bar (n: nat) (oddn:  IsOdd  n): forall (m: nat) (evenm: IsEven m), IsOdd  (n + m).
Proof.
- induction evenn as [ | p hp]; intros m hm; simpl in *.
  + exact hm.
  + now apply EvenS; apply bar.
- induction oddn as [p hp]; intros n hn; simpl in *.
  + apply OddS.
    now apply foo.
Qed.

例如，您可以通过将两个引理“并”成一个引理来同时证明这两个引理，然后使用
proj1
和
proj2
提取子句的左或右部分

Lemma even_or_odd_plus_even:  forall (n m : nat),
    (forall (evenn : IsEven n) (evenm : IsEven m), IsEven (n + m)) /\
    (forall (oddn : IsOdd n) (evenm : IsEven m), IsOdd (n + m)).
Proof.
  induction n; split; intros;
    try destruct (IHn m) as [He Ho];
    try apply evenm;
    try inversion oddn;
    try inversion evenn;
    constructor; auto.
Qed.

Definition even_plus_even n m := proj1 (even_or_odd_plus_even n m).
Definition odd_plus_even n m := proj2 (even_or_odd_plus_even n m).

给你

even_plus_even : forall n m : nat, IsEven n -> IsEven m -> IsEven (n + m)
odd_plus_even  : forall n m : nat, IsOdd n -> IsEven m -> IsOdd (n + m)

请注意，这两个子句共享
n
和
m
，如果无法单独证明这两个子句，则需要使用这两个子句，因为它们需要相互依赖。（但在这种情况下，他们没有。你可以单独证明这些陈述，正如安东所示。）

编辑：刚刚看到了Vinz解决方案。我不知道引理有
和
语法（谢谢展示！），但这是有意义的，我认为这是一种更简洁的方法来定义这个相互依赖的定义

Lemma even_plus_even: forall n m, IsEven n -> IsEven m -> IsEven (n+m)
 with odd_plus_even: forall n m, IsOdd n -> IsEven m -> IsOdd (n+m).
Proof.
  induction 1; simpl; auto using EvenS.
  induction 1; simpl; auto using OddS.
Qed.

例如，您可以通过将两个引理“并”成一个引理来同时证明这两个引理，然后使用
proj1
和
proj2
提取子句的左或右部分

Lemma even_or_odd_plus_even:  forall (n m : nat),
    (forall (evenn : IsEven n) (evenm : IsEven m), IsEven (n + m)) /\
    (forall (oddn : IsOdd n) (evenm : IsEven m), IsOdd (n + m)).
Proof.
  induction n; split; intros;
    try destruct (IHn m) as [He Ho];
    try apply evenm;
    try inversion oddn;
    try inversion evenn;
    constructor; auto.
Qed.

Definition even_plus_even n m := proj1 (even_or_odd_plus_even n m).
Definition odd_plus_even n m := proj2 (even_or_odd_plus_even n m).

给你

even_plus_even : forall n m : nat, IsEven n -> IsEven m -> IsEven (n + m)
odd_plus_even  : forall n m : nat, IsOdd n -> IsEven m -> IsOdd (n + m)

请注意，这两个子句共享
n
和
m
，如果无法单独证明这两个子句，则需要使用这两个子句，因为它们需要相互依赖。（但在这种情况下，他们没有。你可以单独证明这些陈述，正如安东所示。）

编辑：刚刚看到了Vinz解决方案。我不知道引理有
和
语法（谢谢展示！），但这是有意义的，我认为这是一种更简洁的方法来定义这个相互依赖的定义

Lemma even_plus_even: forall n m, IsEven n -> IsEven m -> IsEven (n+m)
 with odd_plus_even: forall n m, IsOdd n -> IsEven m -> IsOdd (n+m).
Proof.
  induction 1; simpl; auto using EvenS.
  induction 1; simpl; auto using OddS.
Qed.

TTBOMK您将不得不使用一种棘手的
修复
策略，因此您的生活不会更好。我的观点是，你使用了错误的Coq工具来解决你的问题。归纳定义是非常强大的理论工具，而
奇数
/
偶数
是简单的函数，更好地定义为函数
nat->bool
，偶数只定义为
偶数n=~奇数n
，就像在数学竞赛中所做的那样，所以你的生活不会好很多。我的观点是，你使用了错误的Coq工具来解决你的问题。归纳定义是非常强大的理论工具，
奇数
/
偶数
是简单的函数，可以更好地定义为函数
nat->bool
，偶数只定义为
偶数n=~奇数n
，例如在数学竞赛中，
引理
和
不动点
都只是
定理
的别名，请参见，这意味着您也可以使用证明策略定义不动点定义，而无需预先给出明确的证明项。顺便说一句，
refine
策略非常有用，如果你想明确给出部分证明项，同时留下漏洞来用策略来填补。实际上，
引理和
不动点
都只是
定理
的别名，请参见，这意味着你也可以用证明策略来定义不动点定义，没有预先给出明确的证明项。顺便说一句，如果您想明确给出部分证明术语，同时留下漏洞以用策略来填补，那么
refine
策略非常有用。