Coq true=false区分失败，没有基本相等

我试图证明以下几点，我认为我有正确的解决方法，列举了b的所有情况，所有单参数布尔函数f应该是4个函数加上2个布尔值，通过彻底破坏一切来证明这一点

Theorem example :
  forall (f : bool -> bool) (b : bool),
  f (f b) = b.
Proof.
  intros.
  destruct (f (f b)).
  - destruct b. 
    + reflexivity. 
    + Fail discriminate. admit. 
  - destruct b eqn:Hqebb.
    + Fail discriminate. admit. 
    + reflexivity.  
Qed.

但是，当我尝试在第2步和第3步进行区分时，如果为false=true，则会出现以下错误：

Ltac call to "discriminate" failed.
No primitive equality found.

我以前在归纳类型中使用过Decriminate，它按预期工作，所以我很惊讶它在布尔类型中不起作用。你知道为什么吗？

只有当你的上下文中有一个假设，即等同于以不同构造器开始的归纳类型的术语时，区别策略才会起作用。执行第一次调用discriminate时，上下文如下所示：

f : bool -> bool
============================
true = false

正如您所看到的，上下文中不包含任何平等假设，因此歧视不能做任何事情。要解决这个问题，您需要使用销毁策略的eqn:选项，以便Coq在上下文中记录所有相关事实。例如，如果你打电话

destruct b eqn:H.

b是bool类型，那么除了像往常一样生成两个子目标外，Coq还会添加假设H:b=true和H:b=false

我很感激你改变了你的问题，但我只想指出你现在提出的定理是不可证明的。将其应用于您的原始问题应该不会太困难。

只有在您的上下文中有一个假设，即等同于以不同构造器开始的归纳类型的术语时，区分策略才会起作用。执行第一次调用discriminate时，上下文如下所示：

f : bool -> bool
============================
true = false

正如您所看到的，上下文中不包含任何平等假设，因此歧视不能做任何事情。要解决这个问题，您需要使用销毁策略的eqn:选项，以便Coq在上下文中记录所有相关事实。例如，如果你打电话

destruct b eqn:H.

b是bool类型，那么除了像往常一样生成两个子目标外，Coq还会添加假设H:b=true和H:b=false

我很感激你改变了你的问题，但我只想指出你现在提出的定理是不可证明的。将这一点与你原来的问题相适应应该不会太困难。

如果你有一个不可能的假设true=false，你可以使用discriminate来完成目标。在你坚持的目标中，你被要求证明真=假。没有任何战术可以做到这一点，这是一项不可能完成的任务

您使用的特定示例定理实际上是错误的：

Theorem not_example:
  ~ forall (f : bool -> bool) (b : bool), f (f b) = b.
Proof.  
  intros H.
  specialize (H (fun _ => true) false).
  simpl in H.
  discriminate.
Qed.

但总的来说，正如Arthur所说，实现这一点的方法是使用eqn：选项进行解构，记住相关的方程。这里有一个证明脚本，它主要证明了你的定理，除了错误的情况：

Theorem example :
  forall (f : bool -> bool) (b : bool),
  f (f b) = b.
Proof.
  intros.
  destruct (f true) eqn:?; destruct (f false) eqn:?; destruct b; try congruence.

如果你有一个假设真=假，这是不可能的，你可以使用歧视来完成目标。在你坚持的目标中，你被要求证明真=假。没有任何战术可以做到这一点，这是一项不可能完成的任务

您使用的特定示例定理实际上是错误的：

Theorem not_example:
  ~ forall (f : bool -> bool) (b : bool), f (f b) = b.
Proof.  
  intros H.
  specialize (H (fun _ => true) false).
  simpl in H.
  discriminate.
Qed.

但总的来说，正如Arthur所说，实现这一点的方法是使用eqn：选项进行解构，记住相关的方程。这里有一个证明脚本，它主要证明了你的定理，除了错误的情况：

Theorem example :
  forall (f : bool -> bool) (b : bool),
  f (f b) = b.
Proof.
  intros.
  destruct (f true) eqn:?; destruct (f false) eqn:?; destruct b; try congruence.

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有趣的是，我仍然不明白为什么不能立即将true=false标记为不可能。根据布尔的定义：=true | false，它们不可能相等。我的印象是，Discrime的工作原理与反转类似，因为类型定义的关系，构造函数不可能匹配。事实上，它们不可能相等：Discrime的工作就是在出现这些情况时进行识别。问题是，1它要求这些矛盾出现在你的语境中，2 Coq不够聪明，不足以知道你可能想在你的语境中留下的所有信息；你需要明确地说出来。您也可以始终使用eqn修饰符调用destruct，但在处理更复杂的证明时，这会很快使上下文不可读。有趣的是，我仍然不明白为什么不能立即将true=false标记为不可能。根据布尔的定义：=true | false，它们不可能相等。我的印象是，Discrime的工作原理与反转类似，因为类型定义的关系，构造函数不可能匹配。事实上，它们不可能相等：Discrime的工作就是在出现这些情况时进行识别。问题是，1它要求这些矛盾出现在你的语境中，2 Coq不够聪明，不足以知道你可能想在你的语境中留下的所有信息；你需要明确地说出来。您也可以始终使用eqn修饰符调用destruct，但在处理更复杂的证明时，这会很快使上下文不可读。这是同一个问题。A. s说，我们可以证明这样的东西：fB=fB。这是同一个问题。如前所述，我们可以证明这样的东西：fB=fB。