Coq 从其他文件引用类型变量时出错

我正在coq中研究群体理论的形式化。我有两个文件：

• v-包含群的定义和定理
• 群_Z.v-包含Z群的定理和定义

第五组：

Require Import Coq.Setoids.Setoid.
Require Import Coq.Lists.List.
Require Import PeanoNat.

Class Semigroup G : Type :=
{
    mult : G -> G -> G;
    assoc : forall x y z:G,
        mult x (mult y z) = mult (mult x y) z
}.

Class Monoid G `{Hsemi: Semigroup G} : Type :=
{
  e : G;
  left_id : forall x:G, mult e x = x;
}.

Class Group G `{Hmono: Monoid G} : Type :=
{
    inv : G -> G;
    left_inv : forall x:G, mult (inv x) x = e;
}.

Declare Scope group_scope.
Infix "*" := mult (at level 40, left associativity) : group_scope.
Open Scope group_scope.

Section Group_theorems.

  Parameter G: Type.
  Context `{Hgr: Group G}.
  (* More theorems follow *)
  Fixpoint pow (a: G) (n: nat) {struct n} : G :=
    match n with
    | 0 => e
    | S n' => a * (pow a n')
    end.

  Notation "a ** b" := (pow a b) (at level 35, right associativity).

End Group_theorems.
Close Scope group_scope.

第五组：

Add LoadPath ".".
Require Import groups.
Require Import ZArith.

Open Scope group_scope.
Section Z_Groups.
  Parameter G: Type.
  Context `{Hgr: Group G}.

  Definition pow_z (a: groups.G) (z: Z) : G :=
    match z with
    | Z0 => e
    | Zpos x => pow a (Pos.to_nat x)
    | Zneg x => inv (pow a (Pos.to_nat x))
    end.

  Notation "a ** b" := (pow_z a b) (at level 35, right associativity).
End Z_groups.
Close Scope group_scope.

尝试定义

pow_z

失败，并显示以下消息：

术语“pow a（Pos.to_nat x）”的类型为“groups.G” 预期为“G”型

如果我们使用不同的签名：

定义pow_z（a:G）（z:z）：G

而不是

定义pow_z（a:groups.G）（z:z）：G

然后它给出了另一个错误：

术语“a”的类型为“G”，而预期的类型为 “G组”

---

如何解决这个问题？

在Coq中，命令

参数G:Type

声明了一个全局常量，这类似于将抽象类型的存在公理化

G:Type

。从理论的角度来看，这应该是可以的，因为这个公理是可以实现的，但是我认为您的意思是

变量G:Type

表示局部变量

Coq的错误消息随后出现，因为您声明了两个名为

G

的全局常量，每个模块中一个。一旦声明了第二个常量，第一个常量就由Coq指定为

groups.G

（这是最短的名称，可以消除此常量与其他常量之间的歧义）。现在

pow

操作并返回一个

groups.G

，而您需要

pow\u z

返回一个

G

（该位置的文件

groups\u z.v

中表示

groups\u z.G

，与

groups.G

不同）

---

NB：群论在Coq中已经发展了好几次，如果你想做任何事情而不是尝试这个系统，我建议你在现有库的基础上工作。例如，数学组件库在两个文件中都有一个。

我将

参数G:Type.

更改为

变量G:Type

，并将

pow_z

定义更改为：

Definition pow_z (a: G) (z: Z) : G :=
    match z with
    | Z0 => e
    | Zpos x => pow G a (Pos.to_nat x)
    | Zneg x => inv (pow G a (Pos.to_nat x))
    end.