Coq：定义非零有理数及其倒数的嵌套（？）子类型

我试着定义一个非零有理数的倒数，模仿我书中的答案。我试图推迟举证，但似乎我误解了

以下是我的代码：

1） 整数：将

z（=a-b）

定义为一对

（a，b）

，它位于一个集合类中，与

（a，b）~（c，d）a+d=b+c

Definition Z_eq (z w: integer): Prop :=
  match z with
  | (z1, z2) =>
    match w with
    | (w1, w2) => z1 + w2 = z2 + w1
    end
  end.

Add Parametric Relation:
  integer Z_eq
  reflexivity proved by Z_refl
  symmetry proved by Z_symm
  transitivity proved by Z_tran
  as Z. (** proved; omitting the proof *)

(** addition, subtraction, negation, multiplication are well-defined as a morphism *)
Add Morphism Z_plus with signature Z_eq ==> Z_eq ==> Z_eq as Z_plus_morph.
(** etc. *)

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2） 正整数：

{n:nat | 0我想你忘了在开发中添加
Q|u nonzero
的定义，因此我无法运行你的代码。但是，我认为问题是你在一些定义中使用了
Qed
而不是
定义的
。详细讨论了这个问题。（在任何情况下，例如，通常最好避免在证明模式下使用定义，因为它们往往更难推理，正如您可能已经注意到的那样。）

关于风格的一点说明：您的开发模仿了集合论第一原理中对数字系统的常见定义，在集合论中，我们经常使用等价类来定义整数、有理数等。虽然这种方法很优雅，但在Coq中使用起来往往不方便。主要问题是，由于缺乏适当的商类型，您的u在任何地方都必须使用setoids，这使得您无法使用Coq更方便的相等运算符
=
。将这些定义编写为普通数据类型更简单。例如，您可以将整数定义为

Inductive int :=
| Posz : nat -> int
| Negz : nat -> int.

其中，
Posz
表示从自然数到整数的标准注入，而
Negz
将自然数
n
映射到整数
-n-1
。这是中遵循的方法。当然，标准库也有自己的整数定义（），因此您不需要复制它。定义有理数更复杂，但仍然可以做到：，它们被定义为互质整数对
（num，den）
，因此
den>0
和
num
感谢您的回答。首先，Q_nonzero被定义为
定义Q_nonzero:Set:={q:rational | q|u分子q Z0}。
现在我遇到了如下问题：“无法将q|u recip强制为可计算的引用。”，当我展开q|u recip时。这个错误意味着什么？最后，对于样式…（因为我研究Coq的目的是：从底部构造实数，我不想导入mathcomp。）使用整数的setoid定义也让我感到如此困难，但我只是想用“优雅”的方式（这是一个错误的选择：（）谢谢你的建议。@KanuKim这个错误可能意味着你用
Qed
而不是
Defined
结束了
Q\u recip
的证明。如果我用
accepted
而不是
Defined
，会发生这个错误吗？是的，我想是这样。@KanuKim这个公理是不合理的，因为它与pai上的平等概念相冲突rs（也就是说，如果你假设这个公理，你会得到一个矛盾）。例如，这个公理意味着对
（0，0）
和
（1，1）
是相等的，但它们不是。再一次，我认为有两个构造函数的定义是定义Coq中整数的最干净的定义。
(** nonzero integer *)
Definition Z_nonzero: Set := {z : integer | z <Z> Z0}.

(* abs value of a nonzero integer as an obj of type Z_pos *)
Definition Z_nonzero_abs__Z_pos (z: Z_nonzero): Z_pos.
  destruct z as [[z1 z2] z3].
  exists ((z1 - z2) + (z2 - z1))%nat.
Admitted. (** proof ommited *)

(* multiplication b/w two nonzero integers *)
Definition Z_nonzero_mult (z w: Z_nonzero): Z_nonzero.
  exists (proj1_sig z *Z proj1_sig w).
Admitted.

(* sign of n - m *)
Definition N_sgn_diff__Z (n m: nat): integer :=
  if n >? m then Z1 else if n =? m then Z0 else -Z Z1.

(* sign of n - m *)
Definition Z_nonzero_sgn__Z (z: Z_nonzero): Z_nonzero.
  destruct z as [[z1 z2] z3].
  exists (N_sgn_diff__Z z1 z2).
Admitted.

Inductive rational: Type :=
| prerat : integer -> Z_pos -> rational.

Notation "( x '//' y )" := (prerat x y).

(* equality *)
Definition Q_eq (p q: rational): Prop :=
  match p with
  | (p1 // p2) =>
    match q with
    | (q1 // q2) => (Z_mult p1 (Z_pos__Z q2)) =Z= (Z_mult (Z_pos__Z p2) q1)
    end
  end.

(* numerator of a rational *)
Definition Q_numerator (q: rational) :=
  match q with
  | (iq // rq) => iq
  end.

(* nonzero rationals *)
Definition Q_nonzero: Set := {q : rational | Q_numerator q <Z> Z0}.

(* numerator and denominator *)
Definition Q_nonzero_numerator (q: Q_nonzero): Z_nonzero.
  destruct q as [[q1 q2] q3].
  exists q1.
  simpl in q3. apply q3.
Qed.

Definition Q_nonzero_denominator (q: Q_nonzero): Z_pos.
  destruct q as [[q1 q2] q3].
  exact q2.
Qed.

Definition Q_recip (q: Q_nonzero): Q_nonzero.
  exists ( proj1_sig (Z_nonzero_mult (Z_nonzero_sgn__Z (Q_nonzero_numerator q)) (Z_pos__Z_nonzero (Q_nonzero_denominator q))) // Z_nonzero_abs__Z_pos (Q_nonzero_numerator q) ).
Admitted. (* proved. *)

(* inherited equality *)
Definition Q_nonzero_eq (p q: Q_nonzero): Prop := (proj1_sig p) =Q= (proj1_sig q).

Add Morphism Q_recip with signature Q_nonzero_eq ==> Q_nonzero_eq as Q_recip_morph.
Proof. (* well-definedness of Q_recip *)
  destruct x, y.
  unfold Q_nonzero_eq. simpl. intros.
  unfold Q_recip. (* <----- unfolded result was very long and complex; not     simplified after simpl. *)
Abort.

Inductive int :=
| Posz : nat -> int
| Negz : nat -> int.