当Coq将函数扩展为目标的一部分时，这意味着什么？

我试图解决以下定理，但在最后一个

简单问题上遇到了困难。

：

Lemma nonzeros_app : forall l1 l2 : natlist,
  nonzeros (l1 ++ l2) = (nonzeros l1) ++ (nonzeros l2).
Proof.
  intros l1 l2. induction l1 as [| n' l' IHl'].
  -simpl. reflexivity.
  -simpl. 
Qed.

在这一点上，Coq将目标从：

1 subgoal (ID 170)

  n' : nat
  l', l2 : natlist
  IHl' : nonzeros (l' ++ l2) = nonzeros l' ++ nonzeros l2
  ============================
  nonzeros ((n' :: l') ++ l2) = nonzeros (n' :: l') ++ nonzeros l2

致：

这对我来说是完全神秘的。当Coq将函数的定义粘贴到我的目标中时，这意味着什么？我该拿这个怎么办

---

问题的上下文：

有人告诉我解决办法是：

Lemma nonzeros_app : forall l1 l2 : natlist,
  nonzeros (l1 ++ l2) = (nonzeros l1) ++ (nonzeros l2).
Proof.
  intros l1 l2. induction l1.
  - simpl. reflexivity.
  - simpl. { induction n.
             - ...
             - ... }
Qed.

---

这让我想理解为什么他们在

n

上使用归纳法，因为我觉得在那里永远不会使用归纳法。所以我问，为什么？但我意识到，在我可以问这个问题之前，我甚至不理解证明状态，因为它似乎只是将一个函数复制粘贴到证明状态（这对我来说毫无意义）。因此，在我问为什么要在这里使用归纳之前，我必须问一下，在这之前，证明状态是什么，也许这会让我们明白为什么在

n

上使用归纳，我假设你已经用以下方式（或类似方式）定义了

非零

：

因此，

非零

是递归的，在

l

上结构递减。 Coq的

siml

策略采用了一种启发式方法，在这种方法中，如果不动点的定义应用于一个以构造器作为首符号的术语，它就会展开不动点的定义。 在您的例子中，例如，

非零（n'：：l'）

，常量

非零

后面跟着一个由构造函数构成的术语，

Cons

（=

：

）。Coq执行所谓的“增量缩减”，用其定义替换出现的

非零

。由于该定义是一个

匹配

，因此您将得到一个

匹配

作为您的新术语。进一步的替换确实使它简化了一点，但不能消除两种情况：一种是零头，另一种是非零头

非零（（n'：（l'）++l2）的出现也会发生同样的情况，它首先被简化为非零（

（n'：（l'++l2））

，因此，参数的开头也是

Cons

如果要避免在简化时暴露

match

表达式，可以在

非零的定义之后放置以下指令：

Arguments nonzeros l : simpl nomatch.

这特别告诉
siml
，如果最终会在更改位置暴露
匹配项，则应避免扩展术语

至于你朋友在这里使用的
归纳法
：它用于强制将一个案例拆分为
n'
，这样每个案例（
n'=0
，
n'=S
）都可以单独处理。事实上，这里不需要归纳法。一个简单的案例拆分（
case n'
）也可以做到这一点。
交叉发布：
Require Import List.
Import ListNotations.


Definition natlist := list nat.

Fixpoint nonzeros (l : natlist) :=
  match l with
  | [] => []
  | 0 :: xs => nonzeros xs
  | x :: xs => x :: nonzeros xs
  end.

Arguments nonzeros l : simpl nomatch.