C++ 在二维图像上绘制欧拉角旋转模型

我目前正在尝试在二维图像中绘制欧拉角度的三维表示（没有opengl或三维图形窗口）。图像输出可以类似于以下内容

本质上，我正在寻找一种研究或算法，它可以获取一个旋转矩阵或一组欧拉角，然后将它们输出到2d图像上，如上图所示。这将在使用OpenCV的C++应用程序中实现。它将用于根据对象的状态在OpenCV窗口上输出注释信息

我想我考虑得太多了，因为我应该能够从旋转矩阵中分解单位向量，然后提取它们的x，y分量，并在笛卡尔空间中从（0,0）中画一条线。我的想法正确吗

编辑：我正在寻找正交投影。您可以假设上面的图像具有正确的相机/视角

任何帮助都将不胜感激

谢谢

编辑：示例源代码现在可以在my repo中找到。 标题：

类别定义：

这不是最好的代码，但它很有效，并显示了获得公认答案中描述的投影矩阵所需的步骤

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这里还有一个youtube视频，显示了正在运行的投影矩阵（以及添加的缩放和平移）：

旋转矩阵将很容易显示

旋转矩阵可以通过使用法线、副法线和切线来构造

您应该能够按如下方式将它们取回：-

Bi-Normal (y') : matrix[0][0], matrix[0][1], matrix[0][2]
Normal    (z') : matrix[1][0], matrix[1][1], matrix[1][2]
Tangent   (x') : matrix[2][0], matrix[2][1], matrix[2][2]

使用透视变换可以添加透视（x，y）=（x/z，y/z）

要获得与所示类似的正交项目，您需要乘以另一个固定旋转矩阵以移动到“摄影机”视图（右45°，然后向上）

然后可以将端点x（1,0,0）、y（0,1,0）、z（0,0,1）和中心（0,0,0）乘以最终矩阵，仅使用x，y坐标

中心应始终变换为0,0,0

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然后，您可以缩放这些值以绘制二维画布。

这是我的两分钱。希望能有帮助

如果我理解正确，您希望旋转三维坐标系，然后将其正交投影到给定的二维平面上（二维平面是相对于原始未旋转的三维坐标系定义的）

“旋转和投影三维坐标系”是“旋转三个三维基向量并将其正交投影到二维平面上，使其成为相对于平面二维基的二维向量”。让原始3D向量未加底漆，并对生成的2D向量加底漆。设{e1，e2，e3}={e1..3}为三维正交基（已给出），{e1'，e2'}={e1..2'}为二维正交基（必须定义）。本质上，我们需要找到这样的操作符PR，它PR*v=v'

虽然我们可以谈论很多关于线性代数、算子和矩阵表示的内容，但这篇文章太长了。我只想说：

对于3D旋转和3D->2D投影操作符，都有实矩阵表示（线性变换；2D是3D的子空间）

这是两种相应的变换，即PR*v=P*R*v=v'，因此我们需要找到旋转矩阵R和投影矩阵P。显然，在我们使用R旋转v之后，我们可以使用P投影结果向量vR

已经有旋转矩阵<强> r< /强>，所以我们认为它是一个给定的3x3矩阵。为了简单起见，我们将讨论投影向量vR=R*v

投影矩阵P是一个2x3矩阵，第i列是第i个3D基向量ei到{e1..2'}基上的投影

让我们发现，在二维平面上，投影矩阵（如三维向量）在正交基上被线性变换为二维向量v'，{e1..2'}

二维平面可以很容易地由垂直于它的向量定义。例如，从OP中的图中，我们的2D平面（纸张平面）似乎有法向单位向量n=1/sqrt（3）*（1,1,1）。我们需要在这个n定义的2D平面中找到一个2D基。因为在我们的2D平面上的任何两个线性独立的向量都会形成这样的基，这里有无限个这样的基。从问题的几何学出发，为了简单起见，让我们附加两个条件：第一，基础应该是正交的；第二，应该在视觉上具有吸引力（尽管这在某种程度上是一种主观条件）。可以很容易地看到，通过设置e1'=（1，0）'=x'-轴（水平，从左到右的正方向）和e2'=（0，1）'=y'-轴（垂直，从下到上的正方向），在带素数的系统中很容易形成这样的基础

现在让我们在{e1..3}3D基础中找到这个{e1'，e2'}2D基础

让我们在原始基础中将e1'和e2'表示为e1“和e2”。注意到在我们的例子中，e1“没有e3-分量（z-分量），并且使用n点e1”=0的事实，我们得到e1'=（1，0）->e1“=（-1/sqrt（2），1/sqrt（2），0）在{e1..3}基础上。这里，dot表示点积

然后，e2“=n交叉e1”=（-1/sqrt（6），-1/sqrt（6），2/sqrt（6））。这里，cross表示交叉积

由n=1/sqrt（3）*（1，1，1）定义的2D平面的2x3投影矩阵p，由以下公式给出：

( -1/sqrt(2)    1/sqrt(2)        0     )
( -1/sqrt(6)   -1/sqrt(6)    2/sqrt(6) )

其中第一列、第二列和第三列被转换{