C++ 除数算法

我得到一个整数列表（最多1000个），这些整数与给定的整数相乘

n

我需要在整数的所有除数中找到最高的幂

n

例如：4,7,8乘以224，由于224=2^2*7*2^3=2^5*7，因此最高幂为5

问题是，1000个整数可以大到2^64，因此

n

非常大

---

解决这个问题的好算法是什么

困难。我首先检查小素数（在你的例子中：4，7，8。乘积有一个因子2^5。你除以2的幂，剩下1，7，1。然后你对3，5，7等做同样的操作，直到X）

现在你需要找到一个更大的素数p>X，它的幂比你找到的最高值要高。花大量时间寻找只发生一次的主要因素似乎是浪费。你需要的素数是多个数的因子。计算每对数字的gcd，并查看这些数字的素数因子。有很多细节需要解决，这就是为什么我从“困难”开始

最坏的情况是，你不容易找到任何出现两次的素数，所以你需要检查每一个数字是否包含素数的平方作为因子

举个例子：你检查了高达1000的因子，发现素数的最高幂是83^3。所以现在你需要找到一个更大的素数，它是四次方，或者证明没有。计算成对的gcd（最大公约数）。一个大素数可以是来自四个不同数字的gcd的倍数的除数，或者p可以是三个gcd的因子，p^2是一个数字的因子等等

要澄清这个原理：假设你有两个巨大的数字x和y，你想知道哪个是一个素数的最高幂，它将xy分为。你可以考虑x和y，然后从那里开始。如果它们都是素数或两个大素数的乘积，比如x=p或pq，y=r或rs，这需要很长时间

---

现在计算x和y的gcd。如果最大公约数z>1，那么z是x和y的因子，因此z^2是xy的因子。如果最大公约数是1，那么x和y没有公因子。因为我们不需要非正方形的因子，所以我们寻找正方形和更高的因子。为此，只需除以x^（1/3）或y^（1/3）以下的因子即可

困难。我首先检查小素数（在你的例子中：4，7，8。乘积有一个因子2^5。你除以2的幂，剩下1，7，1。然后你对3，5，7等做同样的操作，直到X）

现在你需要找到一个更大的素数p>X，它的幂比你找到的最高值要高。花大量时间寻找只发生一次的主要因素似乎是浪费。你需要的素数是多个数的因子。计算每对数字的gcd，并查看这些数字的素数因子。有很多细节需要解决，这就是为什么我从“困难”开始

最坏的情况是，你不容易找到任何出现两次的素数，所以你需要检查每一个数字是否包含素数的平方作为因子

举个例子：你检查了高达1000的因子，发现素数的最高幂是83^3。所以现在你需要找到一个更大的素数，它是四次方，或者证明没有。计算成对的gcd（最大公约数）。一个大素数可以是来自四个不同数字的gcd的倍数的除数，或者p可以是三个gcd的因子，p^2是一个数字的因子等等

为了阐明原理：假设你有两个巨大的数字x和y，你想知道除以xy的素数的最高幂。你可以考虑x和y，然后从那里开始。如果它们都是素数或两个大素数的乘积，比如x=p或pq，y=r或rs，这需要很长时间

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现在计算x和y的gcd。如果最大公约数z>1，那么z是x和y的因子，因此z^2是xy的因子。如果最大公约数是1，那么x和y没有公因子。因为我们不需要非正方形的因子，所以我们寻找正方形和更高的因子。为此，只需除以x^（1/3）或y^（1/3）以下的因子即可

这是一个骗人的问题。每个整数（包括整数本身，如果它们是素数）的最大素数因子将始终与其乘积的最大素数因子相同。基础数学。事实上，我不是在寻找最大素数，而是所有素数的最大幂，也就是最高的k，使得d^k除以n得到所有的d。它是max{k，因此d^k|n，其中d是n}的除数并不重要。计算完每个数字的素数后，只需将它们相加。例如，以4、7和8为例，得到2*2、7、2*2*2。你有五个2，这是你的答案。您不需要将它们相乘，只需将每个整数单独乘以因子，然后将它们相加即可。基础数学。那么这只是一个关于求一个数的素数的最有效方法的问题。我敢肯定，在这个话题上，之前有很多问题，在这里的某个地方。。。在谷歌上搜索“埃拉托西内斯的筛子”。@SamVarshavchik：筛子对于查找一个大数字的因子，或者查找1000个数字到2^64的因子是毫无用处的。这是一个技巧性的问题。每个整数（包括整数本身，如果它们是素数）的最大素数因子将始终与其乘积的最大素数因子相同。基础数学。事实上，我不是在寻找最大素数，而是所有素数的最大幂，也就是最高的k，使得d^k除以n得到所有的d。它是max{k，因此d^k|n，其中d是n}的除数并不重要。计算完每个数字的素数后，只需将它们相加。例如，以4、7和8为例，得到2*2、7、2*2*2。你有五个2，那是你的