伪随机正定矩阵的生成 我想测试一个简单的Cholesky代码，我用C++编写的。所以我生成一个随机的下三角L，然后乘以它的转置，生成a A = L * Lt;

但是我的代码没有因子A。所以我在Matlab中尝试了这个：

N=200; L=tril(rand(N, N)); A=L*L'; [lc,p]=chol(A,'lower'); p

这将输出非零的p，这意味着Matlab也无法计算因子A。我猜随机性会生成秩亏矩阵。我说得对吗

更新：

我忘了提及以下Matlab代码，正如Malife在下面指出的那样：

N=200; L=rand(N, N); A=L*L'; [lc,p]=chol(A,'lower'); p

不同的是，L在第一个代码中是下三角的，而不是第二个代码。这有什么关系

阅读后，我还使用scipy尝试了以下内容：

但它的错误在于：

Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/scipy/linalg/decomp_cholesky.py", line 66, in cholesky
    c, lower = _cholesky(a, lower=lower, overwrite_a=overwrite_a, clean=True)
  File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/scipy/linalg/decomp_cholesky.py", line 24, in _cholesky
    raise LinAlgError("%d-th leading minor not positive definite" % info)
numpy.linalg.linalg.LinAlgError: 2-th leading minor not positive definite

回溯（最近一次呼叫最后一次）：
文件“”，第1行，在
文件“/usr/lib/python2.7/dist packages/scipy/linalg/decomp_cholesky.py”，第66行，cholesky
c、 lower=\u cholesky（a，lower=lower，overwrite\u a=overwrite\u a，clean=True）
文件“/usr/lib/python2.7/dist-packages/scipy/linalg/decomp\u cholesky.py”，第24行，in\u cholesky
raise LINALGEROR（“%d-th前导小调非正定”%info）
numpy.linalg.linalg.linalg错误：第2个前导小调非正定

我不明白为什么这会发生在scipy身上。有什么想法吗

谢谢，

---

Nilesh.

要在MATLAB中生成随机正定矩阵，您的代码应为：

N=200;
L=rand(N, N); 
A=L*transpose(L); 
[lc,p]=chol(A,'lower');
eig(A)
p

---

你确实应该让特征值大于零并且

p

为零。

问题不在于cholesky分解。问题在于随机矩阵

L

。

rand（N，N）

比

tril（rand（N，N））

条件好得多。要了解这一点，请将

cond（rand（N，N））

与

cond（tril（rand（N，N）））

进行比较。对于第一个矩阵，我得到了类似于

1e3

的结果，对于第二个矩阵，我得到了类似于

1e19

的结果，因此第二个矩阵的条件数要高得多，并且计算在数值上不太稳定。 这将导致在病态情况下获得一些较小的负特征值-要查看使用

eig（）

查看特征值的过程，一些较小的特征值将为负

所以我建议使用

rand（N，N）

来生成一个数值稳定的随机矩阵

顺便说一句，如果你对为什么会发生这种情况的理论感兴趣，你可以看看这篇文章：

---

您询问下三角格的情况。让我们看看发生了什么，为什么会有问题。这通常是一件好事，看看测试用例

对于简单的5x5矩阵

L = tril(rand(5))
L =
      0.72194            0            0            0            0
     0.027804      0.78422            0            0            0
      0.26607     0.097189      0.77554            0            0
      0.96157      0.71437      0.98738      0.66828            0
     0.024571     0.046486      0.94515      0.38009     0.087634

eig(L)
ans =
     0.087634
      0.66828
      0.77554
      0.78422
      0.72194

当然，三角形矩阵的特征值只是对角线元素。由于rand生成的元素总是介于0和1之间，因此它们的平均值大约为1/2。也许研究L行列式的分布会有所帮助。最好是考虑日志（DET（L））的分布。因为行列式只是对角线元素的乘积，所以对数是对角线元素的对数之和。（是的，我知道行列式不能很好地度量奇点，但是log（det（L））的分布很容易计算，我觉得太懒了，不想考虑条件数的分布。）

但是均匀随机变量的负对数是一个指数变量，在这种情况下是一个λ=1的指数。根据中心极限定理，区间（0,1）内n个均匀随机数的对数之和为高斯分布。该总和的平均值为-n。因此，由这种格式生成的下三角nxn矩阵的行列式为exp（-n）。当n为200时，MATLAB告诉我

exp(-200)
ans =
   1.3839e-87

因此，对于任何可感知大小的矩阵，我们可以看到它的条件都很差。更糟糕的是，当你形成乘积L*L'时，它通常在数字上是单数的。相同的参数适用于条件编号。因此，即使对于20x20矩阵，也可以看到这样一个下三角矩阵的条件数相当大。然后当我们形成矩阵L*L'时，条件将按预期平方

L = tril(rand(20));

cond(L)
ans =
   1.9066e+07

cond(L*L')
ans =
   3.6325e+14

看看一个完整的矩阵有多好

A = rand(20);

cond(A)
ans =
       253.74

cond(A*A')
ans =
        64384

---

如前所述，三角形矩阵的特征值位于对角线上。因此,

L=tril(rand(n))

您确保eig（L）只产生正值。您可以通过在对角线上添加足够大的正数来改进L*L'的条件数，例如

L=L+n*eye(n)

L*L'是正定的且条件良好：

> cond(L*L')

ans =

1.8400

---

是的，我忘了在原来的问题中提到这一点，现在更新了。谢谢但是我不明白为什么在第一个Matlab代码示例中，如果L是下三角形，A就不能分解？太好了！我没有想到这一点，所以尽管算法本身是稳定的，但病态的数据导致了问题。这篇文章描述了一个非常有趣的现象，不过我需要更多的背景知识才能完全理解它。谢谢另一个问题是，第二种方法（rand（N，N））是否可证明生成SPD矩阵？我认为它生成秩亏矩阵的可能性（非常小）。有什么想法吗？虽然我不知道SciPy是怎么回事，生成的随机矩阵（1e3）的条件数似乎还可以。事实上，很容易看出，使用第二种方法，仍然可以得到病态矩阵和负特征值。因为它生成一个随机矩阵，你基本上可以得到任何矩阵（0,1以内），包括病态矩阵，特别是你可以得到与tril（rand（N，N））给出的矩阵非常相似的矩阵（概率很小）。例如：矩阵tril（rand（200200））+0.0001可能由rand（200200）生成，但将是病态的。在numpy（scipy使用）中，数组与

*

的乘法是按元素计算的，而不是代数计算的。对于代数积，使用

dot

函数。所以你应该写

B=dot（A，A.transpose（））

，或者<

> cond(L*L')

ans =

1.8400