C++ 如何将整数乘以分数

我的目标是得到一个签名如下的函数：

template<typename int_t, int_t numerator, int_t denominator>
int_t Multiply(int_t x);

最简单的方法是先将“x”乘以分子，然后除以

看一个具体的例子，让我们假设，

int\u t

=

uint8\u t

，“x”是30，分子和分母分别是119和255

由于（30*119）mod 256=242除以255，然后floored为0，所以采用这种简单的路由失败。真正的答案应该是14

下一步就是对中间值使用更大的整数大小。因此，我们将在mod 65536中进行30*119计算，而不是在mod 256中进行30*119计算。这在一定程度上确实有效，但当我们尝试在

乘法

函数中使用最大整数大小时，它失败了

下一步就是使用一些

BigInt

类型来保存值，这样它就不会溢出。这也会起作用，但使用模板参数的全部原因是这样可以非常快地完成，使用

BigInt

可能无法达到这一目的

问题是：

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是否有一种只涉及移位、乘法、除法、加法、减法和余数运算符的算法，可以执行此数学函数，而不会导致溢出问题？

对于Windows平台，我建议您阅读这篇文章，它目前支持最多128位整数值。您可以根据

int\t

的位专门化模板，作为这些操作系统功能的代理

为乘法实现“移位和加法”可能提供了一个足够好的选择，但除法肯定会抵消您所希望的任何性能提升

还有一些“捷径”，比如尝试查看

分子

和

分母

是否可以通过分数缩减来简化，例如，乘以35/49与乘以5/7相同

我想到的另一种选择是“逐渐”乘以“分数”。不过，这一点需要一些解释：

假设您正在乘以

1234567/89012

。为了可读性，我将使用十进制表示法，但这同样适用于二进制数学

我们得到的是一个值，需要乘以这个分数。由于我们处理的是整数算术，所以让我们稍微重新打包该分数：

1234567/89012 = A + B/10 + C/100 + D/1000...
 = 1157156/89012 + ((71210*10)/89012)/10 + ((5341*100)/89012)/100 + ((801*1000)/89012)/1000...
 = 13 + 8/10 + 6/100 + 9/1000...

事实上，在这一点上，你的主要问题是“我希望在计算中有多精确？”。根据对这个问题的回答，你将得到这个长序列中适当数量的成员

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这将为您提供所需的精度，并为计算乘积提供一种通用的“无溢出”方法，但计算成本是多少？

要回答这里提出的问题：是的，有一种算法只涉及移位、乘法、除法、加法、减法和余数运算符，这可以预执行此数学函数，而不会导致溢出问题。噢，至于它是什么，请注意，例如，一个32位的数字可以表示为a*65536+b，其中

a

和

b

都是16位的数字；因此，对32位数字的此类运算可以表示为对16位数字的等效运算，并将结果进行数学组合。你只需要自己计算出这些运算是什么。@sam但是它比使用更大的int更快吗？我不认为有一种算法可以避免对任意操作数计算完全精度的乘积。（如果输入和分母恰好gcd>1，您可以以此作为初始步骤进行缩减。）这意味着计算全积，然后使用窄类型的多个实例进行除法。这将是丑陋的，并且总是比单个硬件在更大的宽度上进行乘法和除法要慢。建议您重新规范模板，以包含中间产品的类型。由于486DX，每个Intel CPU都配有内置的数学协处理器。除非您没有列出一些其他要求（例如，可接受的精度损失）或为极其关键的部分编写代码，否则我怀疑这是否真的需要按照您描述的方式进行优化假设输入是8位值，数学是在16位中完成的，那么，为什么255的最大整数值是一个问题？255*255=65025，适用于65536。

1234567/89012 = A + B/10 + C/100 + D/1000...
 = 1157156/89012 + ((71210*10)/89012)/10 + ((5341*100)/89012)/100 + ((801*1000)/89012)/1000...
 = 13 + 8/10 + 6/100 + 9/1000...