C# 基于已知抛射角在两点之间绘制抛物线弧

我试着在两个点之间画一条弧线，代表一个投射物的路径。弹丸离开点A的角度已知，两个点的X/Y坐标已知

我正试图弄明白这背后的数学原理，以及如何用c#来画它

下面是我失败的尝试，基于我找到的一些路径示例

var g = new StreamGeometry();
var xDistance = Math.Abs(pointA.X - pointB.X);
var yDistance = Math.Abs(pointA.Y - pointB.Y);
var angle = 60;
var radiusX = xDistance / angle;
var radiusY = yDistance / angle;

using (var gc = g.Open())
{
    gc.BeginFigure(
        startPoint: pointA,
        isFilled: false,
        isClosed: false);

    gc.ArcTo(
        point: pointB,
        size: new Size(radiusX, radiusY),
        rotationAngle: 0d,
        isLargeArc: false,
        sweepDirection: SweepDirection.Clockwise,
        isStroked: true,
        isSmoothJoin: false);
}

任何帮助都将不胜感激

编辑#2（更清晰）：对于这个问题，假设物理不起作用（没有重力、速度或任何外力）。弹丸保证在B点着陆并沿抛物线路径移动。顶点将位于水平轴上点A和点B的中间。它发射的角度是从地面向上的角度（水平）

所以点A（Ax，Ay）是已知的。 B点（Bx，By）已知。 偏离角是已知的。 顶点的X一半是已知的（Vx=Abs（Ax-Bx））

---

这真的归结为需要计算顶点的Y坐标吗

仅受重力影响的身体运动（忽略空气阻力）可通过以下方程式进行计算：

DistanceX(t) = dx0 + Vx0·t
DistanceY(t) = dy0 + Vy0·t - g/2·t^2

x = V·cos(X)·t [4]
y = V·sin(X)·t - g/2·t^2 [5]

在哪里

这似乎不是很有帮助，但让我们进一步调查。你的大炮有炮口速度<代码> V <代码>我们可以考虑常量，所以<代码> Vx0和<代码> VY0可以写成：

Vx0 = V·cos(X)
Vy0 = V·sin(X)

其中

X

是您拍摄的角度。好的，这看起来很有趣，我们终于有了一个对射击大炮的人有用的输入：

X

。让我们回到我们的方程并重写它们：

DistanceX(t) = dx0 + V·cos(X)·t
DistanceY(t) = dy0 + V·sin(X)·t - g/2·t^2

现在，让我们思考一下我们要做什么。我们想找出一种方法来击中一个特定的点

P

。让我们给它坐标：

（A，B）

。为了做到这一点，抛射体必须同时到达两个投影点。我们将调用时间

T

。好的，让我们再次重写我们的方程：

A = dx0 + V·cos(X)·T
B = dy0 + V·sin(X)·T - g/2·T^2

让我们在这里去掉一些不必要的常数；如果我们的加农炮位于

（0，0）

我们的方程式现在是：

A = V·cos(X)·T [1]
B = V·sin(X)·T - g/2·T^2 [2]

从[1]我们知道：

T=A/（V·cos（X））

，所以我们在[2]中使用它：

B = V·sin(X)·A/(V·cos(X)) - g/2·A^2/(V^2·cos^2(X))

或

现在一些三角函数会告诉你，

1/cos^2=1+tan^2

B = A·tan(X) - g/2·A^2/V^2·(1+tan^2(X)) [3]

现在你们有了，tan（X）中的二次方程，你们可以解

免责声明：输入数学有点难，我可能在某个地方有错误，但你应该明白

更新之前的方法将允许您在给定初速

V

的情况下求解击中目标

p

的角度

X

。根据您的评论，给出了角度

X

，因此您需要计算出炮弹以指定的加农炮角度击中目标的初速。如果它让你感觉更舒服，不要把

V

看作是枪口的初速，把它看作是你试图找到的抛物线的形状因子

求解[3]中的

V

：

B = A·tan(X) - g/2·A^2/V^2·(1+tan^2(X))

这是一个平凡的二次方程，只需隔离

V

并取平方根。显然，负根没有物理意义，但它也有物理意义，你可以取两个解中的任何一个。如果对

V

没有实数解，那就意味着根本没有可能达到

P

的射程（或抛物线）（角度

X

太大；想象你直接向上射程，你会击中自己，其他什么都不会）

现在只需在参数化方程中消除

t

：

DistanceX(t) = dx0 + Vx0·t
DistanceY(t) = dy0 + Vy0·t - g/2·t^2

x = V·cos(X)·t [4]
y = V·sin(X)·t - g/2·t^2 [5]

从[4]中，你有

t=x/（V·cos（x））

。在[5]中替换为：

y = tan(X)·x - g·x^2 /(2·V^2*cos^2(X))

这是你的抛物线方程。画出来，看你的投篮命中目标

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我给了它一个物理解释，因为我发现它更容易理解，但你可以把我在这里写的所有名字都改成纯数学术语，这其实并不重要，一天结束时，所有的数学和抛物线都是一样的，不管你想怎么想。

下面是评论，我们需要一条二次贝塞尔曲线。这由3个点定义，即起点、终点和控制点：

它由以下等式定义：

因此，我们需要使用给定的条件（注意，重力强度是隐式确定的）找到

P1

。对于二维坐标，我们需要两个约束/边界条件。它们由以下公式给出：

P0处的切线向量：


我们需要将角度与水平面匹配：

曲线的顶点必须在控制点P1的正下方：

因此，垂直坐标由下式给出：

[如果您需要上述示例代码，请告知我]

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现在学习如何添加二次贝塞尔；谢天谢地，一旦你完成了上面的工作，它就是

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以下方法为简单对称情况创建抛物线几何体。角度是从水平面逆时针测量的度数

public Geometry CreateParabola(double x1, double x2, double y, double angle)
{
    var startPoint = new Point(x1, y);
    var endPoint = new Point(x2, y);

    var controlPoint = new Point(
        0.5 * (x1 + x2),
        y - 0.5 * (x2 - x1) * Math.Tan(angle * Math.PI / 180));

    var geometry = new StreamGeometry();

    using (var context = geometry.Open())
    {
        context.BeginFigure(startPoint, false, false);
        context.QuadraticBezierTo(controlPoint, endPoint, true, false);
    }

    return geometry;
}

---

重力能被假定为垂直且恒定的吗？此外，与水平方向的角度还是垂直方向的角度

ArcTo

绘制一条圆弧，而自由下落的粒子在均匀重力下会沿着抛物线路径。是的，重力可以假定为垂直且恒定的。角度将从水平面向上。根据我失败的尝试，ArcTo是一个圆弧，而不是我所需要的，这是有道理的。我不知道如何得到抛物线路径。我没有检查你的方程，但无论如何，这似乎是正确的方法。嗯，我现在意识到我最初的问题没有我想的那么清楚。通过提到恒定的重力，我试图传达，确实没有外力影响抛射体。为了解决这个问题，可以认为只需要找出顶点的Y坐标