Data structures 线性规划中负系数的求解

我试图用线性规划来解决一个指派问题。 我正在使用CLRS中提到的单纯形算法

考虑以下示例：

          --(1/1)--->|a|---(10/1)------>|d|----------->
         |            |                  ^            |
         |            |_(7/1)__          |            |
        |s|            ________|_(12/1)__|           |t|
         |            |        |_______               |
         |            |                |              |
         |            |                v              |
          --(1/1)--->|b|---(10/1)---->|c|--(1/1)----->

--（1/1）——————————————————————————————————————————————————————————————————————
|            |                  ^            |
|            |_(7/1)__          |            |
|s | | | | | | | | | | | | | t（12/1）|
|            |        |_______               |
|            |                |              |
||v|
--（1/1）-->|b |--（10/1）-->|c |--（1/1）--->

顶点a和b是人

顶点c和d是作业

我将其建模为最小成本最大流量问题

已添加源S和汇t

所有边权重都已设置为1

从源到顶点a和b的边成本设置为1

从d、c到接收器的边缘成本设置为1

边缘中的（a/b）值表示该边缘的（成本/流量）

我用W表示边缘成本，用C表示容量


线性规划是：
减少
所有紫外线的总和（W（uv）.f（uv））


The Standard Form is:
    Maximize,
         -(Summation(W(uv).f(uv)) over all uv)


       Such that,
         f(uv) >= 0 , for all (u,v) in E

         f(uv) <= C(u,v) , C(u,v)=1 in this case, for all (u,v) in E

         Flow conservation for each vertex except the source and the sink.
         So Sum(f(uv)) = Sum(f(vu)), for all u,v

         Demand:
         f(sa) + f(sb) = 2

这样，
对于E中的所有（u，v），f（uv）>=0
f（uv）=0，对于E中的所有（u，v）
f（uv）实际上，上述问题的问题是，在这种情况下，“初始化单纯形”方法需要更加复杂。由于x_i=0（对于所有i）不是问题的可行解决方案，因此需要执行“第一阶段”操作，以找到问题的初始基本可行解决方案。（满足x1+x2=2的解）。
我建议谷歌搜索“第一阶段单纯形法”。
我不认为CLRS是一本解释单纯形法所有细节的好书。像希利尔和利伯曼或温斯顿这样的运筹学入门教材会更好。祝你好运
 （1）输入变量的选择基于降低的成本（而非目标系数）。（2） 该算法与实际单纯形码的实现方式几乎没有共同之处。它只能作为一种教学工具使用，而不能作为实际实现的蓝图。@ErwinKalvelagen，但根据CLRS，选择输入变量是基于客观系数的。通过增加那些具有+ive系数的非基本变量的值，可以在每次迭代中增加目标值。这可能并不是说。同样，在单纯形法中，选择输入变量是基于降低的成本（而不是目标系数）。引用CLRS：“如果目标函数中的所有系数都为负，则while循环终止。否则，第4行选择一个变量xe作为输入变量，该变量在目标函数中的系数为正。”@Abis您提供的引用必须在存在
PIVOT
[从
INITIALIZE-SIMPLEX
]对
c
所做的事情的情况下进行解释，即“目标函数”——正如@Erwin所指出的，它基本上将
c
处理为“s”的函数。

The Standard Form is:
    Maximize,
         -(Summation(W(uv).f(uv)) over all uv)


       Such that,
         f(uv) >= 0 , for all (u,v) in E

         f(uv) <= C(u,v) , C(u,v)=1 in this case, for all (u,v) in E

         Flow conservation for each vertex except the source and the sink.
         So Sum(f(uv)) = Sum(f(vu)), for all u,v

         Demand:
         f(sa) + f(sb) = 2


Which reduces to 
   maximize (- { W(sa).f(sa) + W(sb).f(sb) + W(ad).f(ad) + W(ac).f(ac) + W(bd).f(bd) + W(bc).f(bc) + W(dt).f(dt) + W(ct).f(ct) } )

    Maximize
        -x1-x2-10(x3)-7(x4)-12(x5)-7(x6)-x7-x8  (objective function)
    Given that (constraints)
      Capacity constraints:
         x{1-8} <= 1
      Flow conversations:
         x1 = x3+x4 --> ( x1-x3-x4 <=0 & -x1+x3+x4 <= 0)
         x2 = x6+x5 --> ( x2-x6-x5 <=0 & -x2+x6+x5 <= 0)
         x7 = x3+x5 --> ( x7-x3-x5 <=0 & -x7+x3+x5 <= 0)
         x8 = x4+x6 --> ( x8-x4-x6 <=0 & -x8+x4+x6 <= 0)
      Demand:
         x1 + x2 =2 --> ( x1+x2 <=2 && -x1-x2 <=2)