Floating point 是3*x+；x总是精确的吗？

假设严格的IEEE 754（无多余精度）并四舍五入到最接近的偶数模式，

3*x+x

是否总是==

4*x

（因此在没有溢出的情况下精确），为什么

我无法展示一个反例，所以我对每个可能的尾随位模式

abc

和舍入情况进行了冗长的讨论，但我觉得我可能错过了一个案例，也错过了一个更简单的演示

我还有一个直觉，这可以扩展到

（2^n-1）x+x==2^nx

，在这种情况下，测试每个尾随位组合不是一个选项

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根据IEEE 754的属性，我们应该有

（2^n-1）x==2^n x-x

，只要n，在下面的例子中，

代码格式

中所示的数学是用IEEE 754四舍五入到最近模式计算的，而非代码格式的数学是精确的

设p为有效位中的位数

设f是正整数n的因子2n-1，并且是可精确表示的（n）≤ p）

设U（x）为x的ULP。对于正常值，U（x）≤ 21像素

设t为

f*x

。如果

f*x

低于正常值，那么它就是fx。如果它是正常的，那么对于某些| e | t=fx+e≤ &一半U（外汇）≤ 2-px。请注意，如果| e |正好是ULP的一半，那么它必须等于设置的x的最低位（因为否则e将设置多个位，并且不能是ULP的一半）

代替f，t=（2n-1）x+e

t+x=（2n-1）x+e+x=2nx+e

考虑

t+x

。根据IEEE-754的四舍五入要求，这必须在&一半以内；一个t+x的ULP，我们知道它是2nx+e。显然2nx是可表示的（除非溢出），并且| e |≤ &一半U（外汇）≤ &一半U（2nx）。因此

t+x

必须是2nx，除非| e |正好是半个ULP，并且x的有效位的低位是奇数（因为偶数低位赢得平局并给出2nx）

如果n是1，那么f是1，e是0。如果2≤ n、 然后| e |≤ 1/4 U（2nx）<一半；U（2nx）。因此，不会出现| e |为半个ULP且x的低位为奇数的情况

因此

t+x

必须是2nx。（溢出和NaN留给读者作为练习。）

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此外，我还对IEEE-754 32位二进制浮点进行了详尽的测试。

推测：它是否适用于x为最小值（+和-）到0的情况？对于使用所有位的分数，我怀疑计算是否精确。请记住，4*x将保持分数不变，但3*x可能会丢失一个低阶位。@Rob：在这些情况下，它的作用很小，因为涉及的每个操作都是精确的。“全宽”浮点数更有趣，其中一些中间步骤会产生舍入，但最终结果是准确的。我的证明如下：（短篇故事：关于

3*x

是否与

4*x

处于同一二进制位或与

2*x

处于同一二进制位的案例分析）。在同一个线程中，Stephen提到了对

x

有效位的最后三位进行的案例分析。有趣的是，当计算为

x+x+x

（或

（x+x）+（x+x）

或

4*x

时，该值也是精确的，但这些都是显而易见的，并不令人惊讶）。因此，计算数量5*x的最合理方法也是精确的，但这并不适用于6*x。@StephenCanon是的，（2^n+1）*x=2^n*x+x我想回答的是，x+x+x+的求和方法不止一种。。。但令人惊讶的是，数量很少，8*x==6*x+2*x==7*x+x