Floating point 保持大量浮动的总数

我的程序维护一个大约50000个浮动的数组。这些数字的总和是一个重要的数量，必须随着数组元素的变化而保持最新。有一种明显的方法可以做到这一点，其中

numbers

是数组，

total

是它们的总数：

function update_number(int index, float new_value) {
    total += new_value - numbers[index];
    numbers[index] = new_value;
}

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我担心浮点舍入错误会导致值

total

与真实总数相比发生漂移。这在多大程度上是一个问题？

对大量浮点进行尽可能精确求和的最著名算法是。虽然目前的算法并不是为了允许加数改变而编写的，但是对其进行调整是很简单的。在计算初始和之后，只需保留运行中的错误值，并通过添加前一个值的求反，然后添加新值来更新和

不幸的是，如果你的很多数字都是负数，那么Kahan总和并不能提供很好的最坏情况保证。。。而更新步骤保证会有。（事实上，在足够多的更新之后，条件数将趋于零，这意味着错误将是无限的！）因此，尽管您可以使用Kahan求和，并且您的错误可能很小，但我个人不会冒险

另一个更好的选择是，它在实践中提供了非常好的精度。在成对求和中，递归地找到数组的前半部分和后半部分的成对和，然后对结果求和。把它想象成一棵二叉树，叶子代表数字，每个内部节点代表两个子节点的总和，根代表所有叶子的总和

要使成对求和成为可更新的算法，只需保留所有树节点即可。对于每个更新的值，更改目标叶，然后将其所有祖先重新计算回根。这只需要

log2（n）

每次更新的总和，以及

n

额外的值