Floating point 双精度小数表示法中的连续零数

在IEEE 754双精度数字的精确十进制表示中，连续非前导非尾随零（分别为9）的最大数量是多少

上下文 考虑将

double

转换为十进制、向上舍入（或向下舍入）的问题，此时您能够使用的唯一原语是转换为最接近的现有函数（正确舍入到任何所需的位数）

你可以得到一些额外的数字，并删除他们自己。例如，要将

1.875

四舍五入到点后的一位数字，您可以将其转换为点后两位或三位最接近的十进制表示（

1.87

或

1.875

），然后自己擦除这些数字以获得预期的答案，

1.8

对于某些数字和要打印的额外数字选择，此方法会产生错误的结果。例如，对于最接近

0.79999996

的

double

，转换为十进制，四舍五入到最接近的2、3或4位，在点产生

0.80

、

0.800

和

0.8000

。当所需结果为

0.7

时，在转换后擦除附加数字会产生结果

0.8

由于有有限数量的double，因此在初始转换中，为了在截断所获得的十进制表示后始终计算正确的结果，还存在足够数量的额外数字，可以打印这些数字。该数字与

双精度

的精确十进制表示中可能出现的最大9或0数有关

相关的

---

这个问题与之相关，并且是双重的。

显然，它至少是15，如Smalltalk/Squeak代码所示：

1.0 successor asTrueFraction printShowingMaxDecimalPlaces: 100.
-> '1.0000000000000002220446049250313080847263336181640625'

1.0 predecessor asTrueFraction printShowingMaxDecimalPlaces: 100.
-> '0.99999999999999988897769753748434595763683319091796875'

现在，更复杂的是证明不可能有超过15个连续的零。您可以搜索一个浮点数

f=（a*10^n+B）*10^p

其中

• n>15
• A是整数
• 0

但浮点也必须表示为整数有效位和有偏指数

f=s*2^e

• s是整数
• 0

因此我们有：

s=（A*2^n*5^n+B）*2^（p-e）*5^p
s<2^53

我的第一个答案是错误的，这是要完成的

一般来说，s可以写成s=2^a*5^b+c，c不能被2或5整除

A*2^（n+p-e）*5^（n+p）+B*2^（p-e）*5^p=2^A*5^B+c

我们可以搜索a=1，B=c*2^（e-p）/5^p15满足b1的构造只会让事情变得更糟（它涉及减少a和B）

因此，我不认为有任何具有16个连续零的double，但这不是一个很好的演示…
我没有解决方案，但我可以遵循以下方法：


跟踪到目前为止发现的最长的零字符串。调用长度
L
。它至少有15长，多亏了阿卡。尼斯的回答
对于每个可能的指数和每个位置
10^k
，其中
L+1
可能出现连续的零，您会遇到一个凌乱的小背包问题
计算两个模
10^{k+L}，
的相关53次幂，并对其进行四舍五入，使其具有约
L+1
有效数字
使用本机整数数学查找两个模的前26次幂的所有组合
10^{k+L}
同样地，找到两个模的最后26次幂的所有组合
对两半进行排序，并使用线性扫描查找能提供非常接近隐含位负数的对。这样做可能只会得到几根火柴
使用
sprintf
或其他方法检查每个匹配项

看起来你必须运行这个循环几百万次，但它应该可以在几十个小时内在几十台现代计算机上运行

我还要补充一点，有一个整数可以用浮点表示，它有很多尾随零：
879609302220800000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000。（事实上，10^22完全可以表示为一个双精度数，它显然有22个尾随零。你做得再好不过了，因为5^23需要除以这样一个有效位，这是不可能的。哦，好吧。）
实用的解决方案是：


调用现有函数返回一个字符串，该字符串只包含所需的小数位数
将结果转换回双精度值
如果该值大于原始值，则减小最后一位
[简短版本：答案是20。根据找到形式为
2^e/10^d
的数字的良好有理近似值来重新计算问题；然后使用连分数为每个合适的
d
和
e
找到最佳近似值]

答案似乎是
20
：也就是说，有一些IEEE 754二进制64浮点的示例，其十进制扩展具有
20
连续零，但没有一个在其十进制扩展中具有
21
连续零（不包括前导零和尾随零）。9的字符串也是如此

对于第一部分，我需要做的就是展示这样一个浮动。值
0x1.9527560bfbed8p-1000
可精确表示为二进制64浮点，其十进制扩展包含20个零的字符串：

1.477012373908101575832232661339797638003193787888622256869396638475789157390440268509308176357891808688039997416681188265900445039128659150009310633265410967343958563709555236330766069662479012780743317388062800315618689682432778455224012594373130330432224324317331720251161832460427841947000000000000000000069852126871047947479
for each appropriate d and e:
    find the best rational approximation a / b to 2^e / 10^d with denominator <= 2^53
    if (the error in this rational approximation is small enough):
        # we've got a candidate
        examine the decimal expansion of b*2^e

from fractions import Fraction
from itertools import groupby
from math import floor, log10

def longest_run(s, c):
    """Length of the longest run of a given character c in the string s."""
    runs = [list(g) for v, g in groupby(s, lambda k: k == c) if v]
    return max(len(run) for run in runs) if runs else 0

def closest_fraction(d, e):
    """Closest rational to 2**e/10**d with denominator at most 2**53."""
    f = Fraction(2**max(e-d, 0) * 5**max(-d, 0), 2**max(0, d-e) * 5**max(0, d))
    approx = f.limit_denominator(2**53)
    return approx.numerator, approx.denominator

seen = set()
emin = -1126
emax = 971
for e in range(emin, emax+1):
    dmin = min(e, 0) + 1
    dmax = int(floor(e*log10(2))) + 16
    for d in range(dmin, dmax+1):
        num, den = closest_fraction(d, e)
        x = float.fromhex('0x{:x}p{}'.format(den, e))
        # Avoid duplicates.
        if x in seen:
            continue
        seen.add(x)
        digits = '{:.1000e}'.format(x).split('e')[0].replace('.','').strip('0')
        zero_run = longest_run(digits, '0')
        if zero_run >= 20:
            print "{} has {} zeros in its expansion".format(x.hex(), zero_run)
        nine_run = longest_run(digits, '9')
        if nine_run >= 20:
            print "{} has {} nines in its expansion".format(x.hex(), nine_run)

0x1.9527560bfbed8p-1000 has 20 zeros in its expansion
0x1.fa712b8efae8ep-997 has 20 zeros in its expansion
0x1.515476ae79b24p-931 has 20 nines in its expansion
0x1.a5a9945a181edp-928 has 20 nines in its expansion
0x1.86049d3311305p-909 has 20 zeros in its expansion
0x1.69c08f3dd8742p-883 has 20 zeros in its expansion
0x1.1b41d80091820p-861 has 20 zeros in its expansion
0x1.62124e00b5e28p-858 has 20 zeros in its expansion
0x1.ba96e180e35b2p-855 has 20 zeros in its expansion
0x1.31c5be6377c48p-786 has 20 zeros in its expansion
0x1.7e372dfc55b5ap-783 has 20 zeros in its expansion
0x1.7e89dc1c3860ap-555 has 20 nines in its expansion
0x1.7e89dc1c3860ap-554 has 20 nines in its expansion
0x1.7e89dc1c3860ap-553 has 20 nines in its expansion
0x1.7e89dc1c3860ap-552 has 20 nines in its expansion
0x1.30bd91ea994cbp-548 has 20 zeros in its expansion
0x1.4a5f9de9ee064p-468 has 20 nines in its expansion
0x1.9cf785646987dp-465 has 20 nines in its expansion
0x1.c23142c9da581p-408 has 20 nines in its expansion
0x1.c23142c9da581p-407 has 20 nines in its expansion
0x1.c23142c9da581p-406 has 20 nines in its expansion
0x1.c23142c9da581p-405 has 20 nines in its expansion
0x1.ba431f4e34be9p+738 has 20 nines in its expansion

 private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            String Str = textBox1.Text;
            String lstVal = GetDecimalString(Str);
           textBox2.Text = lstVal;
        }

    private static string GetDecimalString(String Str)
    {
        String lstVal = "";
        if (Str.IndexOf(".") > -1)
        {
            String[] Last = Str.Split('.');
            if (Last.Length == 1)
            {
                lstVal = Last[0];
            }
            else
            {
                lstVal = Last[1];
            }
            String TrimedData = lstVal;
            for (int i = lstVal.Length - 1; i >= 0; i--)
            {
                if (TrimedData.EndsWith("0") && TrimedData.Length > 3)
                {
                    TrimedData = TrimedData.Substring(0, i - 1);
                }
            }
            lstVal = TrimedData;

            if (lstVal.Length < 3)
                lstVal = lstVal.PadRight(3, '0');

            lstVal = String.Join(".", Last[0], lstVal);
        }
        else
        {
            lstVal = Str;
        }
        return lstVal;
    }