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Functional programming 在纯函数语言中，是否有求逆函数的算法？

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Functional programming 在纯函数语言中，是否有求逆函数的算法？,functional-programming,Functional Programming,在像Haskell这样的纯函数语言中，当函数是双射函数时，是否有一种算法来求其逆（编辑）？有没有一种特殊的方法来编程你的函数呢？没有，不是所有的函数都有倒数。例如，这个函数的倒数是什么 f x = 1 你可以在维基百科上查到，它叫做 一般来说，您不能这样做，而且没有一种函数式语言有这样的选项。例如： f :: a -> Int f _ = 1 此函数没有逆函数。并非每个函数都有逆函数。如果您将讨论限制在一对一函数上，则反转任意函数的能力将授予破解任何密码系统的能力。我们有点希望这是不可

在像Haskell这样的纯函数语言中，当函数是双射函数时，是否有一种算法来求其逆（编辑）？有没有一种特殊的方法来编程你的函数呢？

没有，不是所有的函数都有倒数。例如，这个函数的倒数是什么

f x = 1
你可以在维基百科上查到，它叫做

一般来说，您不能这样做，而且没有一种函数式语言有这样的选项。例如：

f :: a -> Int
f _ = 1
此函数没有逆函数。

并非每个函数都有逆函数。如果您将讨论限制在一对一函数上，则反转任意函数的能力将授予破解任何密码系统的能力。我们有点希望这是不可行的，即使在理论上

在某些情况下，是的！有一篇漂亮的论文叫做，它讨论了一些情况——当你的函数足够多态时——在这些情况下，完全自动地导出一个反函数是可能的。（本文还讨论了当函数不是多态函数时，是什么使问题变得困难。）

如果你的函数是可逆的，你得到的结果是相反的（带有虚假输入）；在其他情况下，您会得到一个函数，该函数尝试“合并”旧输入值和新输出值。

不，通常不可能

证明：考虑类型

的双射函数 
type F = [Bit] -> [Bit]
与

假设我们有一个反相器
inv:：F->F
，这样
inv F。F≡ id
。假设我们已经测试了它的函数
f=id
，方法是确认

inv f (repeat B0) -> (B0 : ls)
由于输出中的第一个
B0
一定是在某个有限的时间之后出现的，因此在
inv
实际评估测试输入以获得该结果的深度以及调用
f
的次数上，我们都有一个上限
n
。现在定义一系列函数

g j (B1 : B0 : ... (n+j times) ... B0 : ls)
   = B0 : ... (n+j times) ... B0 : B1 : ls
g j (B0 : ... (n+j times) ... B0 : B1 : ls)
   = B1 : B0 : ... (n+j times) ... B0 : ls
g j l = l
显然，对于所有
0 n
  • 评估
    head$g j l
    是否至少有
    n
    不同的列表匹配
    replicate（n+j）B0++B1:ls
    • 到目前为止，至少有一个
    gj
    与
    f
    是无法区分的，而且由于
    inv f
    没有做过这两个评估，
    inv
    不可能把它区分开来——除非自己做一些运行时测量，这只有在
    IO Monad
    中才可能

    ⬜

    像这样的任务几乎总是无法确定的。您可以为某些特定函数提供解决方案，但不是一般的解决方案

    在这里，您甚至无法识别哪些函数具有逆函数。引述：

    如果lambda项集既不是空的也不是满的，那么它就不是平凡的。如果A和B是在（beta）相等条件下闭合的两个非平凡、不相交的lambda项集，那么A和B是递归不可分的

    让我们假设A是表示可逆函数的lambda项集，B是其余的。两者都是非空的，在beta等式下闭合。所以不可能决定一个函数是否可逆

    （这适用于非类型lambda演算。当我们知道要反转的函数的类型时，我不知道参数是否可以直接适用于类型lambda演算。但我很确定它会类似。）

    我最近一直在处理类似的问题，不，我想说（a）在很多情况下这并不困难，但是（b）它根本没有效率

    基本上，假设您有
    f:：a->b
    ，并且
    f
    确实是一个对象。你可以用一种非常愚蠢的方式计算逆
    f'：b->a
    ：

    import Data.List

-- | Class for types whose values are recursively enumerable.
class Enumerable a where
    -- | Produce the list of all values of type @a@.
    enumerate :: [a]

 -- | Note, this is only guaranteed to terminate if @f@ is a bijection!
invert :: (Enumerable a, Eq b) => (a -> b) -> b -> Maybe a
invert f b = find (\a -> f a == b) enumerate
    如果
    f
    是一个双射，并且
    enumerate
    确实生成
    a
    的所有值，那么您最终将命中
    a
    ，从而
    f a==b

    具有
    有界
    和
    枚举
    实例的类型可以轻松地使
    递归可枚举
    。也可以使成对的
    可枚举
    类型成为
    可枚举
    ：

    instance (Enumerable a, Enumerable b) => Enumerable (a, b) where
    enumerate = crossWith (,) enumerate enumerate

crossWith :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]
crossWith f _ [] = []
crossWith f [] _ = []
crossWith f (x0:xs) (y0:ys) =
    f x0 y0 : interleave (map (f x0) ys) 
                         (interleave (map (flip f y0) xs)
                                     (crossWith f xs ys))

interleave :: [a] -> [a] -> [a]
interleave xs [] = xs
interleave [] ys = []
interleave (x:xs) ys = x : interleave ys xs

    可枚举类型的析取也是如此：
    

    instance (Enumerable a, Enumerable b) => Enumerable (Either a b) where
    enumerate = enumerateEither enumerate enumerate

enumerateEither :: [a] -> [b] -> [Either a b]
enumerateEither [] ys = map Right ys
enumerateEither xs [] = map Left xs
enumerateEither (x:xs) (y:ys) = Left x : Right y : enumerateEither xs ys

    

    事实上，我们可以对
    （，）
    和
    中的任何一种
    进行此操作，这可能意味着我们可以对任何代数数据类型进行此操作。
    如果您可以枚举函数的域，并可以比较范围中的元素是否相等，您可以-以一种相当简单的方式。我所说的枚举是指有一个所有可用元素的列表。我将坚持使用Haskell，因为我不知道Ocaml（甚至不知道如何正确地利用它；-）
    
您要做的是遍历域的元素，看看它们是否等于您尝试反转的范围的元素，然后取第一个有效的元素：
    

    inv :: Eq b => [a] -> (a -> b) -> (b -> a)
inv domain f b = head [ a | a <- domain, f a == b ]

    
以及您喜欢的任意多个常量（您可以说“我知道它们是双射！”），例如：
    

    notBi :: Bi Bool Bool
notBi = Bi not not

add1Bi :: Bi Integer Integer
add1Bi = Bi (+1) (subtract 1)

    

    idBi :: Bi a a 
idBi = Bi id id

invertBi :: Bi a b -> Bi b a
invertBi (Bi a i) = (Bi i a)

composeBi :: Bi a b -> Bi b c -> Bi a c
composeBi (Bi a1 i1) (Bi a2 i2) = Bi (a2 . a1) (i1 . i2)

mapBi :: Bi a b -> Bi [a] [b]
mapBi (Bi a i) = Bi (map a) (map i)

bruteForceBi :: Eq b => [a] -> (a -> b) -> Bi a b
bruteForceBi domain f = Bi f (inv domain f)

    
和一些智能组合器，例如：
    

    notBi :: Bi Bool Bool
notBi = Bi not not

add1Bi :: Bi Integer Integer
add1Bi = Bi (+1) (subtract 1)

    

    idBi :: Bi a a 
idBi = Bi id id

invertBi :: Bi a b -> Bi b a
invertBi (Bi a i) = (Bi i a)

composeBi :: Bi a b -> Bi b c -> Bi a c
composeBi (Bi a1 i1) (Bi a2 i2) = Bi (a2 . a1) (i1 . i2)

mapBi :: Bi a b -> Bi [a] [b]
mapBi (Bi a i) = Bi (map a) (map i)

bruteForceBi :: Eq b => [a] -> (a -> b) -> Bi a b
bruteForceBi domain f = Bi f (inv domain f)

    
我想你可以做
    反转（mapBi add1Bi）[1,5,6]
    得到
    [0,4,5]
    。如果你以一种聪明的方式选择你的组合符，我认为你必须手工编写一个
    Bi
    常量的次数可能会非常有限
    

    毕竟，如果你知道一个函数是一个双射函数，你很有希望在你的头脑中有一个证明这一事实的草图，Curry Howard同构应该能够将其转化为一个程序：-）
    不是在大多数函数式语言中，而是在逻辑编程或关系式编程中，你定义的大多数函数实际上不是函数，而是函数“关系”，它们可以在两个方向上使用。例如，请参见prolog或kanren。
    在某些情况下，可能

    idBi :: Bi a a 
idBi = Bi id id

invertBi :: Bi a b -> Bi b a
invertBi (Bi a i) = (Bi i a)

composeBi :: Bi a b -> Bi b c -> Bi a c
composeBi (Bi a1 i1) (Bi a2 i2) = Bi (a2 . a1) (i1 . i2)

mapBi :: Bi a b -> Bi [a] [b]
mapBi (Bi a i) = Bi (map a) (map i)

bruteForceBi :: Eq b => [a] -> (a -> b) -> Bi a b
bruteForceBi domain f = Bi f (inv domain f)

    

    bijective_function x = x*2+1

main = do
    print $ bijective_function 3
    print $ inverse_function bijective_function (bijective_function 3)

data Expr = X | Const Double |
            Plus Expr Expr | Subtract Expr Expr | Mult Expr Expr | Div Expr Expr |
            Negate Expr | Inverse Expr |
            Exp Expr | Log Expr | Sin Expr | Atanh Expr | Sinh Expr | Acosh Expr | Cosh Expr | Tan Expr | Cos Expr |Asinh Expr|Atan Expr|Acos Expr|Asin Expr|Abs Expr|Signum Expr|Integer
       deriving (Show, Eq)

instance Num Expr where
    (+) = Plus
    (-) = Subtract
    (*) = Mult
    abs = Abs
    signum = Signum
    negate = Negate
    fromInteger a = Const $ fromIntegral a

instance Fractional Expr where
    recip = Inverse
    fromRational a = Const $ realToFrac a
    (/) = Div

instance Floating Expr where
    pi = Const pi
    exp = Exp
    log = Log
    sin = Sin
    atanh = Atanh
    sinh = Sinh
    cosh = Cosh
    acosh = Acosh
    cos = Cos
    tan = Tan
    asin = Asin
    acos = Acos
    atan = Atan
    asinh = Asinh

fromFunction f = f X

toFunction :: Expr -> (Double -> Double)
toFunction X = \x -> x
toFunction (Negate a) = \a -> (negate a)
toFunction (Const a) = const a
toFunction (Plus a b) = \x -> (toFunction a x) + (toFunction b x)
toFunction (Subtract a b) = \x -> (toFunction a x) - (toFunction b x)
toFunction (Mult a b) = \x -> (toFunction a x) * (toFunction b x)
toFunction (Div a b) = \x -> (toFunction a x) / (toFunction b x)


with_function func x = toFunction $ func $ fromFunction x

simplify X = X
simplify (Div (Const a) (Const b)) = Const (a/b)
simplify (Mult (Const a) (Const b)) | a == 0 || b == 0 = 0 | otherwise = Const (a*b)
simplify (Negate (Negate a)) = simplify a
simplify (Subtract a b) = simplify ( Plus (simplify a) (Negate (simplify b)) )
simplify (Div a b) | a == b = Const 1.0 | otherwise = simplify (Div (simplify a) (simplify b))
simplify (Mult a b) = simplify (Mult (simplify a) (simplify b))
simplify (Const a) = Const a
simplify (Plus (Const a) (Const b)) = Const (a+b)
simplify (Plus a (Const b)) = simplify (Plus (Const b) (simplify a))
simplify (Plus (Mult (Const a) X) (Mult (Const b) X)) = (simplify (Mult (Const (a+b)) X))
simplify (Plus (Const a) b) = simplify (Plus (simplify b) (Const a))
simplify (Plus X a) = simplify (Plus (Mult 1 X) (simplify a))
simplify (Plus a X) = simplify (Plus (Mult 1 X) (simplify a))
simplify (Plus a b) = (simplify (Plus (simplify a) (simplify b)))
simplify a = a

inverse X = X
inverse (Const a) = simplify (Const a)
inverse (Mult (Const a) (Const b)) = Const (a * b)
inverse (Mult (Const a) X) = (Div X (Const a))
inverse (Plus X (Const a)) = (Subtract X (Const a))
inverse (Negate x) = Negate (inverse x)
inverse a = inverse (simplify a)

inverse_function x = with_function inverse x