Geometry 查找平面三维（可能退化）多边形的正交基

给定一个普通的平面3D多边形，有没有找到该平面多边形的正交基的通用方法

最直接的方法是假设取多边形的前3个点，每个点形成两个向量，这是我们正在寻找的两个正交基向量。但这种方法的问题是，这三个点可能在多边形的同一条线上，因此我们只得到一个正交向量，而不是得到两个正交向量

找到第二个正交向量的另一种方法是在多边形中循环，并找到形成与第一个正交向量不同的正交向量的另一点，但这种方法容易受到数值误差的影响，例如，如果第二个向量与第一个向量几乎相同，该怎么办？数值误差可能很大

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还有其他更好的方法吗

可以使用由任意两个顶点连接的任意两条直线的叉积。如果叉积太低，那么你处于退化区域

您还可以将质心作为点的平均值，保证位于同一平面上，并拾取从质心到任何顶点的向量的任意两个叉积中的最大值。这将是最准确的正常值。请注意，如果最大叉积很小，则可能有不准确的正态分布

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如果找不到任何不接近0的叉积，则原始多边形是退化的，很难找到法线。在这种情况下，您可以使用任意精度或自适应精度代数，但是，当然，舍入误差在源数据中已经很明显，因此这可能没有帮助。如果可能，首先移除退化多边形，如果必须，将网格重新缝合：。

这有点过分，但一种方法是计算点的协方差矩阵，然后将其对角化。如果这些点确实是平面的，那么协方差矩阵的一个特征值将为零或非常小，这是由于有限精度的算术运算，并且相应的特征向量将是平面的法线；其他两个特征向量将跨越多边形的平面。 如果有N个点，且第k个点的第i个坐标为p[k，i]，则平均向量和3x3协方差矩阵可通过以下公式计算：

m[i] = Sum{ k | p[k,i]}/N (i=1..3)
C[i,j] = Sum{ k | (p[k,i]-m[i])*(p[k,j]-m[j]) }/N (i,j=1..3)

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请注意，C是对称的，因此要找到如何对角化它，您可能需要查找对称特征值问题

您也可以取质心-我认为这就是这里的问题：如果不知道正交基，就无法在2D中投影多边形，因此没有办法找到质心，你不需要在2D上投射任何东西。只需对点求平均值，即可找到三维质心。pt->x=0；pt->y=0；pt->z=0；对于n=0；nx+=p[n]>x；pt->y+=p[n]->y；pt->z+=p[n]->z；}pt->x/=npoints；pt->y/=npoints；pt->z/=npoints；现在pt是3D中的质心。您可以使用正交最佳平面拟合算法来计算平面。然而，实现可能是一件痛苦的事情。试试看。但是，请注意，内部实现也可能存在不准确的情况，因此它可能无法解决您的问题。如果你的点是共线的，而你没有检查，世界上没有任何算法可以计算出你的平面的法线，因为它不是平面，它是一条线……你能更具体一点吗？什么是k和p？k只是一个循环计数器；例如，Sum{k | p[k，i]}我指的是p[1，i]+p[1，i]+..+p[N，i]即点的第i个坐标之和。正如我在回答中指出的，p[k，i]是定义多边形的第k个点的第i个分量。