Graph 随机双连通图的生成

是否有一个简单的算法来生成随机无向双连通图（给定若干顶点作为输入）？我知道如何确定给定的图是否是双连通的，但我很难通过编程生成一个图。

您可以使用一种非常简单的概率方法：

1. Create an empty graph with n nodes
2. For each pair of nodes:
 -Flip a fifty-fifty-coin to decide whether to put an edge in there or not

您有O（n^2）对顶点，这也是此算法的预期运行时间，因为此过程生成的将是双向连接的

因此，最后，为了确保你的图真的是双连通的，你只需运行你已经知道的常规过程

对于检查返回“graph is not bi connected”（图形不双向连接）的（不太可能）场景，只需重复该过程

真正有趣的问题是“为什么我会得到一个双连通图w.h.p.？”。我将略去有点乏味的正式证明，根据你的提问方式，我假设你只是想要一些有效的东西，而你并不太在乎它为什么有效。如果我错了，你真的需要证据，我建议你要么问我，要么给我留言——如果我有时间的话，也许我会试着把它正式化

目前，只要给你一个直觉来解释为什么它会起作用，考虑下面的一个证明如何进行的方法：

• 注意，非双连通图的数目等于至少有一个连接顶点的图的数目

• 让我们粗略地计算单个顶点成为关节点的概率：其思想是，如果

  v

  是关节点，则它将

  n

  顶点拆分为两个大小不相交的集合

  k

  和

  n-k

  ，以便这些集合之间没有边。现在直觉上应该或多或少地清楚，

  k*（n-k）

  抛硬币，所有这些都会导致“无边”的可能性不大（基本上是

  （1/2）^（k*（n-k））

  ）。我们仍然需要乘以

  n

  （因为对于每个节点），但这仍然不会产生显著的差异，正如您现在可能看到的，对于具有足够大的“n”的图，不可能不进行双连通

---

（仍然缺少的是考虑每一个可能的分区），即对于不同的选择<代码> k>代码>，然后可能会更加小心，因为它实际上是<代码>（（n-1）-k）< /> >和<代码> k>代码>，而不是<代码>（N-K）。和

k

因为所考虑的顶点不是这两个集合中的任何一个集合的一部分……我说这些只是为了说明人们在进行正式证明时仍然需要担心的细节……

一个简单的方法是创建一个随机最大平面（三连通）图：

• 从循环中连接的3个顶点开始，形成2个三角形面（循环的内部和外部）
• 若要添加每个后续顶点，请拾取一个随机面，并使用一个顶点和3条边将其三等分

你可以停在这里，因为图形是三连通的，所以它也是双连通的

但是，如果要删除边并确保仍然具有双连通图，则仅删除两个关联顶点次数为3次或以上的边，并在删除前使用检查没有该边的双连通性来测试每条边

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注意-这将始终创建一个平面图。

在堆栈溢出时，我们回答问题，但不为您编写代码。@StilesCrisis对我问题中的措词被误解表示歉意，但实际上我没有要求任何人为我编写代码。我问了一些我可以用来解决这个问题的算法的建议。我的问题是，“有没有一种生成随机无向双连通图的简单算法？”如果你认为有必要，我很乐意改写这个问题。这是一种有效的算法，还是一种奇怪的算法？你关心分布吗？@dingalapadum，最好是有效的，因为我将生成非常大的图形。我不在乎分配。我目前正在做的是使用一种蛮力方法和算法来发现双连接组件。本质上，我随机添加节点和边，直到图形被认为是双连通的，然后停止。对于所需数量的双连接组件重复此操作。虽然它可以工作，但速度非常慢。有什么改进的建议吗？在3个顶点的简单情况下，您需要所有3条相邻边来使图双向连接，并且这种情况只会以1/8的概率发生。对于4顶点图，给定顶点有0条或1条入射边的概率为1/2，因此很可能不具有双连通性。我知道，随着顶点数量的增加，非双连通性的概率将迅速下降，但您是否有一个指南，说明在高概率情况下，合理的最小顶点数量是多少？@MT0:w.h.p.不是一个固定的数字。我链接到维基百科的一篇文章，这是一个含义非常明确的表达——看看吧。这意味着您可以使用足够的顶点任意接近1。此外，在使用概率算法时，您只需重复该过程。。。。正如您所指出的：对于3个顶点，我们希望重复该过程8次。对于4，我们期望2次。如果你有更多的顶点，你通常会得到它后，第一次尝试。。。你取的顶点越多，它得到的可能性就越大：这就是w.h.p.的意思。这个算法不是O（n²）-算法的一次迭代是O（n²），如果它碰巧没有生成双连通图，那么你将不得不再次运行它（一次又一次）-最坏的情况（这就是大O符号所表示的）此算法的运行时间为O（无穷大）[但不太可能发生]。但是，您可以声明预期运行时间与n²成比例。@MT0预期运行时间是我实际的意思。。。我是说我们是