Haskell 本原递归和反同构之间有什么联系？

使用以下自然数的亚同态，我可以实现各种算术算法，而不必处理递归：

cataNat :: b -> (b -> b) -> Natural -> b
cataNat zero succ = go
  where
    go n = if (n <= 0) then zero else succ (go (n - 1))

fib :: Natural -> Natural
fib = fst . cataNat (0, 1) (\(a, b) -> (b, a + b))

cataNat:：b->（b->b）->Natural->b
cataNat zero成功=成功
哪里
go n=如果（n自然）
fib=fst.cataNat（0，1）（\（a，b）->（b，a+b））

---

cataNat

在我看来类似于原始递归。至少它的每个应用程序似乎都被终止，无论提供了

zero

和

succ

的哪种组合。在每次迭代中，整个问题都由最小/最简单的问题实例分解。因此，即使它在技术上不是原始的原语递归似乎具有同样的表达能力。如果这是真的，则意味着一个反同构不足以表达一般的递归。我们可能需要一个hylomorphism来实现这一点。我的推理正确吗，也就是说，等价性是否适用于任何类型的反同构，而不仅仅适用于自然数？

原语递归对应它直接指向一个准态

你是对的，一个反同态与一个准同态具有同等的理论能力，但它们在操作方面可能在重要方面有所不同。例如，让我们转到列表而不是NAT

cata :: b -> (a -> b -> b) -> [a] -> b
cata = flip foldr -- I'm lazy, but this argument order makes a bit more sense for this example

para :: b -> (a -> [a] -> b -> b) -> [a] -> b
para z _ []     = z
para z f (x:xs) = f x xs (para z f xs)

-- Removes the first element from the list which is equal to the other argument
delete1 :: Eq a => a -> [a] -> [a]
delete1 x xs = cata (const []) (\el k found -> if not found && el == x then k True else el : k found) xs False

-- Removes the first element from the list which is equal to the other argument
delete2 :: Eq a => a -> [a] -> [a]
delete2 x xs = para [] (\el raw processed -> if el == x then raw else el : processed) xs

看看

delete1

与

delete2

相比有多尴尬。你不仅需要通过将

cata

的结果变成一个函数来扭曲你的逻辑，而且还需要非常实际的操作成本。你必须在找到匹配的元素后遍历列表中的所有内容，然后重新创建所有

（：）

构造函数。这在效率上会有显著的成本。相比之下，

delete2

，当它找到目标元素时，可以只使用列表的现有尾部，而不用查看它。当然，

foldr

的大多数用法（现实世界，不是这个示例）不生成函数，也不希望访问列表中未处理的尾部。对于他们来说，由于传递的数据较少，所以类同构将稍微更有效

所以在理论上，它们是等价的。在操作上，每一种都有其用途，尽管反射更为常见

---

对于更一般的概念的一些扩展，请参见库。它使用了一种外观完全不同的概念表述，这样它就可以抽象出具有不同形状的数据类型，而不需要对每个可以应用的数据类型使用不同的

cata

/

para

。但它实际上只是一种替代方法将相同的思想打包的方法，以及其他类型的态射也包括在内，包括许多（甚至）态射。

将准态射（本身）描述为“用原始递归撕裂结构”的东西.一个缺点：许多实际使用的

foldr

都会产生一个函数！这在您希望通过列表计算从左到右传递某些“状态”时非常有用。