Haskell 如何在Data.Set中插入O（log（n））？

在查看

Data.Set

的文档时，我看到了这一点。然而，我直觉上认为它应该是O（n*log（n））（或者可能是O（n）），因为引用透明性要求在O（n）中创建前一棵树的完整副本

我理解，例如

（：）

可以设置为O（1）而不是O（n），因为这里不必复制完整列表；编译器可以将新列表优化为第一个元素加上指向旧列表的指针（请注意，这是一个编译器，而不是语言级别的优化）。然而，在

Data.Set

中插入一个值涉及到重新平衡，这在我看来相当复杂，以至于我怀疑是否有类似于列表优化的东西。我试着阅读，但无法用它回答我的问题

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那么：在（纯）函数式语言中，如何将一个元素插入到二叉树中是O（log（n））。在内部，元素存储在树中，这意味着您只需要沿插入路径创建新节点。未接触的节点可以在

集合的插入前和插入后版本之间共享。正如所指出的，在平衡树中，
O（log（n））
是插入路径的长度。（很抱歉忽略了这一重要事实。）

假设您的
树
类型如下所示：

data Tree a = Node a (Tree a) (Tree a)
            | Leaf

let t' = Node 10 tl (Node 15 (Node 12 Leaf Leaf) tr')

。。。假设你有一个类似这样的
树

let t = Node 10 tl (Node 15 Leaf tr')

。。。其中
tl
和
tr'
是一些命名子树。现在假设您要将
12
插入此树。好吧，看起来是这样的：

data Tree a = Node a (Tree a) (Tree a)
            | Leaf

let t' = Node 10 tl (Node 15 (Node 12 Leaf Leaf) tr')

子树
tl
和
tr'
在
t
和
t'
之间共享，您只需构造3个新的
节点即可，即使
t
的大小可能远大于3


编辑：重新平衡

关于再平衡，像这样思考，注意我在这里没有要求严格。假设你有一棵空树。已经平衡了！现在假设插入一个元素。已经平衡了！现在假设插入另一个元素。嗯，有一个奇数，所以你在那里做不了什么

这是棘手的部分。假设您插入了另一个元素。这可能有两种方式：向左或向右；平衡的或不平衡的。在不平衡的情况下，您可以清楚地执行树的旋转来平衡它。在平衡的情况下，已经平衡了

这里需要注意的是，你在不断地重新平衡。这并不是说你把一棵树弄得一团糟，决定插入一个元素，但是在你这样做之前，你需要重新平衡，然后在完成插入后留下一片混乱

现在假设您继续插入元素。树会变得不平衡，但不会太多。当这种情况发生时，首先你会立即纠正，其次，纠正会沿着插入路径发生，在平衡树中是
O（log（n））
。链接到的图纸中的旋转最多接触树中的三个节点以执行旋转。因此，在重新平衡时，您正在执行
O（3*log（n））
工作。这仍然是
O（log（n））
为了更加强调dave4420在评论中所说的内容，使
（：）
以恒定时间运行不涉及编译器优化。您可以实现自己的列表数据类型，并在一个简单的非优化Haskell解释器中运行它，它仍然是O（1）

列表被定义为初始元素加上列表（或者在基本情况下为空）。这里有一个与本机列表等效的定义：

data List a = Nil | Cons a (List a)

因此，如果您有一个元素和一个列表，并且您想用
Cons
从它们中构建一个新的列表，那么这只是直接从构造函数所需的参数创建一个新的数据结构。甚至不需要检查尾部列表（更不用说复制了），就像在执行类似于
Person“Fred”
的操作时检查或复制字符串一样

当您声称这是一个编译器优化而不是语言级优化时，您就大错特错了。此行为直接源自列表数据类型的语言级别定义

类似地，对于定义为项目加两棵树（或空树）的树，当您将项目插入非空树时，它必须位于左子树或右子树中。您需要构造包含元素的树的新版本，这意味着您需要构造包含新子树的新父节点。但另一个子树根本不需要遍历；它可以按原样放入新的父树中。在平衡树中，这是树的一半，可以共享

递归地应用这种推理应该会告诉您，实际上根本不需要复制数据元素；在下至插入元素最终位置的路径上只需要新的父节点。每个新节点存储3个内容：一个项（与原始树中的项引用直接共享）、一个未更改的子树（与原始树直接共享）和一个新创建的子树（与原始树共享其几乎所有结构）。平衡树中会有O（log（n））个节点。
它不需要复制整个树-只需要将节点从根复制到插入节点的位置。平衡二叉树中会有日志（n）。平衡函数，作为参考，在这里：–注意上面列出的文档有一个更简单的版本。
（：）
定义为O（1）——尽管名字很有趣，但它只是一个简单的构造函数。插入路径的长度为O（logn）——所以O（logn）为了更详细地分析自平衡二进制搜索树如何在O中插入和重新平衡