Haskell 函子定律证明了结构的完全保持吗？

在文件中，以下两个是函子定律，所有函子都应该遵守

fmap id  ==  id
fmap (f . g)  ==  fmap f . fmap g

我的直觉告诉我，函子应该工作的方式是，它们应该是“结构保持”，或者换句话说，如果你有一个函数

f:：a->b

，它是反的

g:：b->a

，那么

fmap f . fmap g  ==  id

我还没能想出一个符合前两条法律并违反第二条法律的

fmap

实施方案，但这很难证明。有人能告诉我吗？

事实上，你的“第三”函子定律直接来自于实际的函子定律和

f。G≡ id

：

fmap f . fmap g ≡ fmap (f . g) ≡ fmap id ≡ id

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还有更多：Haskell确保如果第一定律适用于

函子

实例，那么第二定律也适用（这是

fmap

类型的自由定理）。即，您只需证明

fmap id≡ id

为您的

函子

实例指定一条法则，以确保其有效。

当

f时。G≡ id

，函数

f

和

g

是否都有数学术语描述它们之间的关系？（我想我在什么地方读过关于同构的书，但我不确定。）@Sibi：为什么，是的，

f

是

g

的左逆，而

g

是

f

的右逆。这并不意味着这两个函数的域和辅域同构，例如

show:：Int->String

将

read

作为左逆，尽管

Int

的基数明显小于

String

@Sibi注意

f。G≡ id

并不意味着

g。F≡ id

。然而，如果是这样，那么这两个函数都称为“同构”。否则，

f

称为“收回”（或“g的左反转”），

g

称为“部分”（或“f的右反转”）。我现在看到了，谢谢。我不知何故试图用另一种方式来解释，但我无法完全说服自己。我认为让我绊倒的主要原因是，我尝试过的函数，我认为它们彼此是相反的，但实际上并不是相反的。有一件事困扰着我这个直观的公式：没有逆的函数呢？当然

fmap（const“Foo”）

在某种意义上也是保持结构的吗？是的，但是你不能用

const“Foo”

来证明这个定律是正确的——你必须选择另一个函数。我并不是说函子只对法则所包含的函数类型有效。@duplode想象一棵树

数据树a=Leaf |节点a[tree a]

。当我们谈论树a的“结构”时，我们会想到每个节点有多少子树，以及这些子树是如何排列的。因此，您可能会说我们对

t

及其节点中的任何内容感兴趣。事实上，我们可以通过

fmap（const（））t

@duplode捕捉到，函子定律定义了函子的结构保留属性，你不能从定律中证明它。我只想向未来的谷歌人指出，它确实很好地说服了我，结构是保留的，甚至比这更进一步！