Haskell 是否可以使用map定义foldr？

在我使用

foldr

定义了

map

之后，我想到了一个问题：

如果可以使用

foldr

定义

map

，那么相反的情况如何

在我看来这是不可能的，但我找不到一个恰当的解释。

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谢谢你的帮助

如果你做了某种作弊助手函数：

f [x] a = x a
f (x:xs) a = f xs (x a)

foldr g i xs = f (map g $ reverse xs) i

sum :: [Int] -> Int

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让我们从一些类型签名开始

foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b
map :: (a -> b) -> [a] -> [b]

我们可以使用

fold

来模拟

map

，因为

fold

是一个通用的操作符（“这是一篇关于这个属性的更数学但非常友好的论文”）

我确信有一些创造性的方法可以使用

map

来模拟

foldr

。这当然是一个有趣的练习。但我不认为有一个直接的、非“疯狂无点”的解决方案，为了解释它，让我们暂时忘记

foldr

，集中讨论一个更简单的累积函数：

f [x] a = x a
f (x:xs) a = f xs (x a)

foldr g i xs = f (map g $ reverse xs) i

sum :: [Int] -> Int

sum==foldr（+）0

，这意味着

foldr

实现了

sum

。如果我们能用

map

实现

foldr

，我们肯定能用

map

实现

sum

。我们能做到吗

我认为

sum

的签名是一个巨大的打击-

sum

返回一个

Int

，而

map

总是返回一个列表。因此，也许

map

可以完成繁重的工作，但我们仍然需要另一个

[a]->a

类型的函数才能得到最终结果。在本例中，我们需要类型为

[Int]->Int

的函数。这是非常不幸的，因为这正是我们一开始想要避免的

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因此，我想答案是：你可以使用

map

实现

foldr

——但它可能需要使用

foldr

：）

查看它的最简单方法是看到

map

保留了列表的脊梁。如果你看一看更一般的fmap（这是一种映射，但不只是针对列表，而是针对

Functor

s），它甚至是一条规律

fmap id = id

“作弊”的方法有很多，但从最直接的角度来看，褶皱比地图更为普遍。Edward Kmett的镜头库中经常使用一个很好的技巧。考虑<代码> const <代码>单元格，定义如下：

newtype Const a b = Const { runConst :: a }

instance Functor (Const a) where fmap _ (Const a) = Const a
instance (Monoid a) => Monad (Const a) where
    return _ = Const mempty
    Const a >>= Const b = Const (a <> b)

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map

输出与它得到的长度相同的列表

foldr

可以输出任意长度的列表，或者根本不是列表的内容。有些相关：您必须更具体一点。请注意，可以定义

foldr

而不使用模式匹配，因此您当然可以使用模式匹配和

map

来定义它。当然，这仍然只是一个折页。它只是通过幺半群分配了组合器和零元素。

Const a>=Const b=Const（a b）

没有进行打字检查。读到这篇文章时，我不禁想到“Curry Howard又罢工了”；-）如果允许使用

zip

，并且添加了

last

-也可以使用

foldl

，尤其是

sum

。无限列表上的延迟

foldr

可能是问题。此

f

是

f=foldl（>>>）id=foldr（.）id。反向

所以它甚至没有作弊，它只是再次折叠，

foldr（.）id（反向$map g$反向xs）i=foldr（（.）.g）id xs i=foldr g i xs

。