Haskell 每一个自由单子超过一个？？？函子产生一个余子？

在《单子能成为科摩纳德吗？》中，我们看到了这一点

每超过一个产生一个单子

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这有什么双重意义？有没有一类函子可以自动将它们上面的自由单子变成一个comonad？

是的，你可以将构造对偶化，但结果类中唯一的成员是空函子，它的自由单子（身份单子）实际上也是一个comonad。不太刺激

您提到的构造实际上只需要很少的过程，所以让我们放弃Hask的包袱，按照下面的一般性工作。让

• （C），⊗, 1） 是幺半群范畴

• F:C->C是一个幺半群值函子，也就是说，有映射1->FX和FX⊗ FX->FX在X中是自然的，统一的和关联的

定义TX=X⊗ F（TX）。假设这个递归定义在某种程度上是有意义的，我们可以对T进行递归定义。然后我们可以使用以下结构映射将T转换为单子：

• 单位由

      X = X ⊗ 1
       -> X ⊗ F(TX)            [unit map of F]
        = TX
  

• 加入

  T(TX) = TX ⊗ F(TTX)
        = X ⊗ F(TX) ⊗ F(TTX)
       -> X ⊗ F(TX) ⊗ F(TX)    [join recursively under F]
       -> X ⊗ F(TX)            [multiplication of F]
        = TX
  

什么时候⊗ 是笛卡尔积，这个结构是你提到的另一个函子上自由余元上的单子结构。事实上，替代结构的应用部分是不相关的。只需要Alternative本身的类方法（加上函子）：一个幺半群值函子。元素方面，组成上述连接的步骤如下所示：

(x :< xs) :< xss  ->  (x :< xs, xss)
                  ->  (x, xs, xss)
                  ->  (x, xs, fmap join xss)
                  ->  (x, xs <|> fmap join xss)
                  ->  x :< (xs <|> fmap join xss)

因为我们最初的结构非常小，所以很容易二元化。那么让我们（C，⊗, 1） 继续是一个幺半类，但现在假设

• G:C->C是一个comonoid值函子，即有映射GX->1和GX->GX⊗ GX在X中是天然的，并且是共价的和共价的

然后我们可以定义UX=X⊗ G（UX）（再次假设这在某种程度上是有意义的）并通过双重结构将U装备为comonad的结构。从某种意义上说，这是真正的答案，但是为了解决你的具体问题，我们应该考虑到一些具体的选择会发生什么。⊗.

首先假设⊗ 又是笛卡尔积。然后，每个函子G都以一种独特的方式进行共面赋值（共面性强制GX->GX-GX成为对角线）。对于任何函子G，我们得到一个comonad UX=xg（UX）。事实上，这只是函子构造上通常的余树余元（证明你的口号中的“余树余元”部分是正确的；当F是幺半群值时，我们可以设置G=F，G自动为余元值，然后T和U具有相同的底层函子）

双重如果⊗ 是副产品吗⨿ 然后是任意一个G，它的值为comonoidal⨿ 也是单倍体的值⨿ 以独特的方式，因此UX=X⨿ G（UX）也是G上的自由单子，也是一个comonad

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但在哈斯克，单位对象为⨿ 是空类型0，并且G的condit应该具有类型GX->0，这只有当所有X的GX=0时才可能（在任何笛卡尔封闭类别中都是如此）。因此，在Hask中没有这种构造的有趣例子。这种对称性的缺乏是类似集合的范畴的一种典型现象。

猜测：

空：：（）->fa

，

：（fa，fa）->fa

--反转我们得到的箭头，

fa->，
fa->（fa，fa）
，这在Hask中不是最有用的东西，虽然在线性类型系统中它是有意义的。@luqui关于线性类型系统的最后一句话很有趣，你能详细说明一下吗？Alternative的逆变版本是。不过，我不知道该怎么做。不过，反变函子并不是免费应用的。@J.Abrahamson如果有基于反变函子的monad或comonad之类的东西，我会觉得很有意思。
(a :< m) >>= k = case k a of
                   b :< n -> b :< (n <|> fmap (>>= k) m)