列表在Haskell中是归纳的还是共归纳的？

所以我最近读了一些关于共导的书，现在我想知道：哈斯克尔列表是归纳的还是共导的？我还听说Haskell没有区分这两者，但如果是这样，他们是如何正式区分的

列表是以归纳方式定义的，

data[a]=[]|a:[a]

，但也可以同时使用，

ones=a:ones

。我们可以创建无限的列表。然而，我们可以创建有限的列表。那么它们是什么

在Idris中，类型

列表a

严格来说是归纳类型，因此仅为有限列表。它的定义类似于Haskell中的定义。然而，

streama

是一种共导类型，为无限列表建模。它被定义为（或者更确切地说，该定义相当于）

codatastreama=a:：（streama）

。创建无限列表或有限流是不可能的。然而，当我写下定义时

codata HList : Type -> Type where
    Nil : HList a
    Cons : a -> HList a -> HList a

我从Haskell列表中得到了我所期望的行为，即我可以生成有限和无限结构

让我把它们归结为几个核心问题：

哈斯克尔没有区分归纳型和共归纳型吗？如果是这样的话，它的形式化是什么？如果不是，那么哪个是[a]

HList是共导的吗？如果是这样，共导类型如何包含有限值

如果我们定义了

数据HList'a=L（列表a）| R（流a）

，会怎么样？这会被认为是什么和/或仅在

HList

上有用吗

由于懒惰，Haskell类型是归纳型和共归纳型的，或者，在数据和codata之间没有正式的区别。所有递归类型都可以包含构造函数的无限嵌套。在Idris、Coq、Agda等语言中，终止检查器会拒绝类似于

ones=1:ones

的定义。懒惰意味着

ones

可以一步计算为

1:ones

，而其他语言只计算为标准形式，而

ones

没有标准形式

“共导”并不意味着“必然无限”，它意味着“由解构的方式定义”，而归纳意味着“由构造的方式定义”。我认为这是对细微差别的极好解释。你肯定会同意

codata A:Type，其中MkA:A

不可能是无限的

这是一个有趣的问题-与

HList

相反，你永远无法“知道”它是有限的还是无限的（特别是，你可以在有限的时间内发现一个列表是有限的，但你无法计算它是无限的），

HList'

提供了一种简单的方法，可以在固定时间内确定列表是有限的还是无限的

---

在Coq或Agda这样的总体语言中，归纳类型是那些其值可以在有限时间内被删除的类型。感应功能必须终止。另一方面，共导类型的值可以在有限的时间内建立。共导函数必须是有生产力的

打算用作证明助手的系统（如Coq和Agda）必须是完整的，因为不终止会导致系统在逻辑上不一致。但要求所有函数都是完全的和归纳的，这使得它不可能与无限结构一起工作，因此，共归纳被发明了

所以归纳和共归纳类型的目的是拒绝可能的非终止程序。以下是Agda中的一个函数示例，该函数因生产率条件而被拒绝。（传递给

过滤器的函数可能会拒绝每个元素，因此您可能会永远等待结果流的下一个元素。）

现在，Haskell没有归纳或共归纳类型的概念。“这种类型是归纳的还是共归纳的？”这个问题不是一个有意义的问题。哈斯凯尔怎么能不加区分就逃之夭夭呢？哈斯凯尔从一开始就不打算保持逻辑上的一致性。它是一种局部语言，这意味着您可以编写非终止和非生产性函数-没有终止检查器和生产性检查器。人们可以对这种设计决策的明智性进行辩论，但它肯定会使归纳和归纳变得多余

相反，Haskell程序员习惯于非正式地推理程序的终止/生产率。懒惰让我们可以处理无限的数据结构，但我们不能从机器上得到任何帮助来确保我们的函数是完整的。
要解释类型级递归，需要为
CPO值列表函子

F X = (1 + A_bot * X)_bot

如果我们归纳推理，我们希望不动点是“最小的”。如果是共生产的，“最大的”

从技术上讲，这是通过在CPO_机器人的嵌入投影子类别中工作来实现的，例如，将嵌入图的共线取为“最小”

0_bot |-> F 0_bot |-> F (F 0_bot) |-> ...

推广Kleene不动点定理。对于“最大的”，我们将采用投影图的极限

0_bot <-| F 0_bot <-| F (F 0_bot) <-| ...

将有限列表集作为bilimit（直到iso）

[我希望我的提升操作是正确的——这些操作很棘手；-）
Haskell没有归纳或共归纳类型的概念。（因为它是一种不完整且懒惰的语言，所以它并不真正需要一个。）因此，询问给定的Haskell类型是归纳型还是共归纳型是没有意义的。您的
HList
类型通常被称为co-list。在Agda中，是否可以定义类似于HList的结构？在这种情况下，是否仍然施加生产力约束（就像codata一样），因此过滤器仍然无效？也就是说，Nil的引入并不影响它的有效性？没错。共导列表仍然可以是无限的（尽管与流不同，它们可能不是无限的），因此，
过滤器
仍然会被拒绝，因为它不会对所有输入都有效。请解释Haskell如何同时具有这两种类型？我很肯定
0_bot <-| F 0_bot <-| F (F 0_bot) <-| ...

F X = 1_bot # (A_bot x X)