Haskell 数值前奏曲中的多重积分和矩阵（复数元素）

我需要计算这种形式的积分

/t     /x
| P(x)*| P(y) dydx
/t0    /t0

其中p是一个函数

R->C^（nxn）

，通常是一个矩阵，我想在Haskell中这样做。我已经为标量函数实现了这一点：

import Numeric.GSL.Integration
import Data.Complex
import Data.List

prec :: Double
prec = 1E-9

integrate :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> Double
integrate f a b = fst $ integrateQNG prec f a b 

integrateC :: (Double -> Complex Double) -> Double -> Double -> Complex Double
integrateC cf a b = (integrate (\x -> realPart (cf x)) a b :+ integrate (\x -> imagPart (cf x)) a b)

multipleIntegration :: Int -> (Double -> Complex Double) -> Double -> (Double -> Complex Double)
multipleIntegration n f a =  foldl' (\ acc g' -> (\ x -> integrateC (g'*acc) a x)) (\_ -> 1:+0) (replicate n f)

到目前为止，这是有效的，尽管在n>5时速度相当慢

现在我需要将这个计算扩展到矩阵，我尝试了数字前奏，因为我可以将函数作为矩阵的元素。 我能够积分一个

Double->Complex Double

的矩阵，但我在积分中乘以矩阵的实际目标失败了，首先是我的代码：

import MathObj.Matrix as Mat
import Algebra.Ring as AR
import Control.Applicative
import qualified Prelude as P
import Prelude hiding ((*))
import Number.Complex as NC
import Numeric.GSL.Integration
import Data.List

type Complex a = NC.T a

prec :: Double
prec = 1E-9

testMat :: Mat.T (Double -> Complex Double)
testMat = Mat.fromRows 2 2 [[\x-> 0.5 +: 2*x,\y-> cos y +: sin y],[\x-> 0.1*x +:x,\_-> 1 +: 1]]

integrateC :: (Double -> Complex Double) -> Double -> Double -> Complex Double
integrateC cf a b = (integrate (\x -> real (cf x)) a b +: integrate (\x -> imag (cf x)) a b)

integrate :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> Double
integrate f a b = fst $ integrateQNG prec f a b 

integrateCMat' :: Mat.T (Double -> Complex Double) -> Double -> Mat.T (Double -> Complex Double)
integrateCMat' cmf a =  ((\f -> integrateC f a ) <$> cmf)

multipleIntegrationMat :: Int -> Mat.T (Double -> Complex Double) -> Double -> Mat.T (Double -> Complex Double)
multipleIntegrationMat n mf a =  integrateCMat' ( testMat * (integrateCMat' testMat a)) a

我知道没有函数乘法的例子。对于这种情况，最好的方法是什么？另一方面，在标量示例中，乘法是有效的，尽管复杂数据类型取自

data.complex

。当我使用

Number.Complex

尝试标量示例时，我得到了相同的错误

我能做些什么来解决这个问题

谢谢。

你可以这样做

integrateCMat'：（双精度->材料T（复双精度））
->双人->双人
->材料T（复双）
被积Cmat'cmf a b=Mat.fromRows n m integratedRows
式中（n，m）=材料尺寸（cmf未定义）
integratedCell idx=integratedec（cell函数idx）a b
单元函数idx=（\（Mat.Cons arr）->arr！idx）。cmf
integratedRows=[[integratedCell（i，j）| i

integrateCMat'：（双精度->材料T（复双精度））
->双人->双人
->材料T（复双）
被积Cmat'cmf a b=Mat.fromRows n m integratedRows
式中（n，m）=材料尺寸（cmf未定义）
integratedCell idx=integratedec（cell函数idx）a b
单元函数idx=（\（Mat.Cons arr）->arr！idx）.cmf
integratedRows=[[integratedCell（i，j）| iPerhaps我遗漏了一些东西，但是……在我看来，你实际上描述了P：(ℝ → ℂ)ⁿˣⁿ, 而不是你的意思，即P：ℝ → ℂⁿˣⁿ.是的，这是真的，我有一个矩阵，这个矩阵包含相同参数的函数，所以数学上是：P:R->C^（nxn）一个参数通过P映射到一个包含复数值的nXn矩阵。在Haskell中，我必须将积分映射到矩阵中，至少这是我的方法，然后我有一个函数矩阵，它依赖于一个实参数。这应该代表数学上下文，我希望如此：）但问题是一样的，我不知何故必须乘以2个函数。好吧，我明白了，你只需在所有矩阵项中输入相同的参数。但这有什么意义，a
Double->Mat.t（复数双精度）
立即解决问题并在概念上更加严格？好吧，当我仔细考虑并尝试正确写入时，应该是：P:R->（R->C）^nxn->C^nxn，我认为这应该是正确的，但我仍然有一个需要积分的函数矩阵，我需要在一段时间后对其应用一个值。我尝试了这个方法，但我对积分有一个问题。当我将积分函数应用于矩阵时，我得到了期望的结果，但是我如何积分：
Double->Mat.T（复数双精度）
当库函数只提供对
Double->Double
的集成时？也许我遗漏了什么，但是……在我看来，你实际上描述了P：(ℝ → ℂ)ⁿˣⁿ, 而不是你的意思，即P：ℝ → ℂⁿˣⁿ.是的，这是真的，我有一个矩阵，这个矩阵包含相同参数的函数，所以数学上是：P:R->C^（nxn）一个参数通过P映射到一个包含复数值的nXn矩阵。在Haskell中，我必须将积分映射到矩阵中，至少这是我的方法，然后我有一个函数矩阵，它依赖于一个实参数。这应该代表数学上下文，我希望如此：）但问题是一样的，我不知何故必须乘以2个函数。好吧，我明白了，你只需在所有矩阵项中输入相同的参数。但这有什么意义，a
Double->Mat.t（复数双精度）
立即解决问题并在概念上更加严格？好吧，当我仔细考虑并尝试正确写入时，应该是：P:R->（R->C）^nxn->C^nxn，我认为这应该是正确的，但我仍然有一个需要积分的函数矩阵，我需要在一段时间后对其应用一个值。我尝试了这个方法，但我对积分有一个问题。当我将积分函数应用于矩阵时，我得到了期望的结果，但是我如何积分：
Double->Mat.T（复杂双精度）
当库函数只提供对
Double->Double
的集成时？谢谢你的回答，我尝试了你的代码，并做了一些小的修改（我对Mat.Cons有问题，所以我改为Mat.index，并将列表理解修改为
integratedRows=[[integratedCell（I，j））|现在双积分应该是完全直接的，
integrateCMat'（\x->integrateCMat'testMat t0x）t0 t
。不是这样吗？的确，这是可行的。但是，我真正需要的是，第一次积分返回一个函数，这个函数再次被输入到积分中，但在积分中与第一次积分的相同矩阵相乘。在我的帖子中，第一行解释起来很复杂：）：矩阵函数
P（y）
是相对于
y
进行积分的，从
t0
到
x
，即：
f（x）=int^x\u t0 P（y）dy
此函数与
P（x）
相乘，然后相对于x进行积分：
g（t）=int^t\u t0 P（x）*f（x）dx
这个链式积分是乘法积分的一部分，乘法积分是微分方程的通解：
d/dty（t）=
matmul.hs:27:59:
No instance for (C (Double -> Complex Double))
  arising from a use of `*'
Possible fix:
  add an instance declaration for (C (Double -> Complex Double))
In the first argument of `integrateCMat'', namely
  `(testMat * (integrateCMat' testMat a))'
In the expression:
  integrateCMat' (testMat * (integrateCMat' testMat a)) a
In an equation for `multipleIntegrationMat':
    multipleIntegrationMat n mf a
      = integrateCMat' (testMat * (integrateCMat' testMat a)) a
Failed, modules loaded: none.

integrateCMat' :: (Double -> Mat.T (Complex Double))
                -> Double -> Double
                 -> Mat.T (Complex Double)
integrateCMat' cmf a b = Mat.fromRows n m integratedRows 
     where (n,m) = Mat.dimension(cmf undefined)
           integratedCell idx = integrateC (cellFunction idx) a b
           cellFunction idx = (\(Mat.Cons arr) -> arr ! idx) . cmf
           integratedRows = [ [ integratedCell(i,j) | i<-[1..n] ] | j<-[1..m] ]