如何在Isabelle中定义部分函数？

我试图用

partial\u函数

关键字定义一个分部函数。它不起作用。下面是一个最能表达直觉的例子：

partial_function (tailrec) oddity :: "nat => nat"
where
  "oddity Zero = Zero "
| "oddity (Succ (Succ n)) = n"

然后我尝试了以下方法：

partial_function (tailrec) oddity :: "nat => nat"
where
  "oddity arg = ( case arg of (Succ (Succ n)) => n
                          | Zero => Zero
                )"

partial_function (tailrec) oddity :: "nat => nat"
where
  "oddity (Succ(Succ n)) = n
   | oddity Zero = Zero"

partial_function (tailrec) oddity :: "nat => nat"
where
  "oddity n =
   (if n = Zero then Zero
    else if (n >= 2)
      then do { m ← oddity (n-2); m })"

---

他们都没有工作。我想我的尝试存在概念和语法问题，这些是什么？

您的定义有两个问题：

partial_函数

不支持左侧的模式匹配。这必须使用右侧的

case

表达式进行模拟

类型

nat

的构造函数是

Suc

和

0

，而不是

Suc

和

Zero

。这就是为什么您的case表达式生成错误，即

Succ

和

Zero

不是数据类型构造函数，并且

parital_函数

抱怨

Zero

是右侧的额外变量

总之，以下工作：

partial_function (tailrec) oddity :: "nat => nat"
where "oddity arg = (case arg of (Suc (Suc n)) => n | 0 => 0 )"

通过使用来自

~/src/HOL/Library/Simps\u case\u Conv的
simp\u of\u case
转换，您可以通过模式匹配恢复简化规则：

simps_of_case oddity_simps[simp]: oddity.simps

thm oddity_simps

关于上一个示例的一些评论：

在Isabelle/HOL中没有
if-then
而没有
else
。因此出现了语法错误。要解决此问题，您必须为最后一个
if
提供
else
-分支，或者重写定义。例如

partial_function (tailrec) oddity :: "nat ⇒ nat"
where
  "oddity n = (
    if n = 0 then 0
    else if n ≥ 2 then do { m ← oddity (n - 2); m }
    else undefined)"   


此时将出现关于“未解决的临时重载”的错误。记住，do符号只是语法上的糖分。让我们试着通过查看do块来了解实际发生了什么

term "do { m ← oddity (n - 2); m }"

由于仍然存在未解决的重载，让我们将
m
的类型修复为
'a list
，并按如下方式停用临时重载的“漂亮打印”

declare [[show_variants]]
term "do { m ← oddity (n - 2); (m :: 'a list) }"

结果是

"List.bind (oddity (n - 2)) (λm. m)"

所以你看到的不是分号
键入时，将插入一个常量
bind
（确切的常量取决于类型）。没有为类型
nat
注册
bind
，因此出现上述错误。虽然您可以定义某种“身份单子”，但这表明do符号在这里没有多大意义。下面的定义如何

partial_function (tailrec) oddity :: "nat ⇒ nat"
where
  "oddity n = (
    if n = 0 then 0
    else if n ≥ 2 then oddity (n - 2)
    else undefined)"

更新：为了完整起见，让我们看看如何定义上述标识monad。首先，我们需要一个绑定操作，即一个常量接受一个标识单子，一个函数返回一个标识单子，并将这些参数组合成一个标识单子。第一个也是最简单的想法可能是

definition "bind_id' x f = f x"

这只是函数应用程序的相反顺序。但是，使用此定义，我们稍后将遇到
绑定id'
的单调性问题，这将是
（tailrec）
所需的。因此，我们使用

definition "bind_id x f = (if x = undefined then undefined else f x)"

这保证了无论何时
x
都是
bind\u id x f
未定义的，因此是单调的。然后，我们注册这个新常数，用于一元绑定的临时重载，如下所示

adhoc_overloading
  Monad_Syntax.bind bind_id

现在还需要证明
bind\u id
w.r.t.
mono\u tailrec
的单调性，这只是一个练习（只需模仿
部分函数中的
mono\u选项
已经完成的操作即可）。那么您使用do符号的定义将被接受

您可能不想让
oddity 1
未定义。但由于我不确定“古怪”的目的，所以我不能确定

thm
命令在那里做什么？Isar参考手册说它“检索”了定理，但我想这里潜藏着一些副作用。
thm
用于查看事实的实际陈述。也就是说，副作用（实际上是唯一的影响）是显示与给定名称对应的事实（位置取决于用户界面）。谢谢。对于3：是的，这是一个局部函数的最小示例，它不是为奇数自然数定义的，因此得名。