Isabelle 在归纳法中使用'defines'

考虑以下容易证明的引理：

lemma
  fixes n m::nat
  defines "m ≡ n - 1"
  shows "m ≤ n"
proof(induction n)
  case 0
  then show ?case unfolding m_def 
      (* Why does «n» appear here? *)
next
  case (Suc n)
  then show ?case sorry
qed

然而，在展开

m

之后，目标变成

n-1≤ 0

而不是

0-1≤ 0

使目标无法实现，因为

n=2

是一个反例

---

这是伊莎贝尔身上的虫子吗？如何正确地展开定义？

我认为一个有用的解释可能是：回想一下

nat.induct

的定义，即

?P 0 ⟹ (⋀n. ?P n ⟹ ?P (Suc n)) ⟹ ?P ?n

请注意，

？n

意味着

n

是隐式通用量化的，也就是说，前面的定义相当于

⋀n. ?P 0 ⟹ (⋀n. ?P n ⟹ ?P (Suc n)) ⟹ ?P n

---

现在，当将

nat.induct

应用于您的示例时，显然要证明的第一个子目标是

？p0

，即

m≤ 0

。然而，在这种情况下，

n

仍然是一个任意但固定的

nat

，特别是它不支持

n=0

，这就是为什么在展开

m

的定义后，您得到

n-1的原因≤ 0

作为新的子目标。关于你的具体问题，问题是你不能通过对

n

的归纳来证明你的结果（但你可以通过simp轻松地用

展开m_def来证明它）。
正如哈维尔指出的，引理头中定义的
n
不同于
归纳所创建的
n
。换句话说，引用
n
的任何“外部”事实在
证明（归纳法n）
环境中不能直接使用

然而，Isabelle确实提供了一种“注入”这些事实的方法，通过管道将它们导入
归纳法
：

lemma
  fixes n m::nat
  defines "m ≡ n - 1"
  shows "m ≤ n"
  using m_def (* this allows induction to use this fact *)
proof(induction n)
  case 0
  then show ?case by simp
next
  case (Suc n)
  then show ?case by simp
qed

在这种情况下，使用assms
也同样有效

请注意，不再需要直接引用
m_def
，因为每个
case
（在
0.hyps
和
Suc.hyps
中）都包含一个版本的
m_def
；有关详细信息，请在校样中使用
print_cases
）