如何在Isabelle中定义从一个集合到另一个集合（f:a->；B）的函数/映射？

Isabelle/HOL（2021）中定义函数

f

从一个特定集合

a

到另一集合

B

的正确方法是什么

从数学上讲，函数

f:a->B

通常被定义为从其域

a

到其共域

B

的映射。函数

f

被定义为

a×B

中的一种特殊关系，只有一个y∈ B满足每个x的

xfy

∈ A

但在Isabelle/HOL中，函数似乎是根据计算来定义的，例如

fx=sucx

。似乎没有明确定义域和共域的地方

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我只是想知道，是否有一种传统的方法来定义Isabelle中的函数，即域函数和共域函数，并与上述关系的定义兼容。

Background

正如您所注意到的，在Isabelle/HOL中，函数通常是

'a类型的术语⇒'b

，其中

'a

和

'b

可以是任意类型。因此，Isabelle中的所有功能都是完整的。Joachim Breitner的一篇博文很好地解释了这一点：。我不会重述博文内容的任何内容：相反，我将集中讨论您在问题中提出的问题

函数的常规定义

我知道在传统数学中定义函数有两种方法（这里我使用术语“传统数学”来表示在某些集合论基础中暴露的数学）：

例如，根据[1，第6章]，函数只是一个单值二元关系

一些作者[2，第2章]通过定义识别具有其域和辅域的函数，即函数成为三元组（a，B，r），其中r⊆A×B仍然是一个单值二元关系，而A正是该关系的域

你可以找到进一步的讨论。如果函数是二元关系，则域和范围通常与函数所表示的关系的域和范围标识。然而，谈论这样一个实体的密码域是毫无意义的。如果函数被定义为三元组（a、B、r），那么编码域就是指定的集合B

Isabelle/HOL I:作为关系的函数

Isabelle/HOL已经在理论

relation.thy

中提供了单值关系概念的定义。该定义隐含在谓词

单值
的定义中：

definition single_valued :: "('a × 'b) set ⇒ bool"
  where "single_valued r ⟷ (∀x y. (x, y) ∈ r ⟶ (∀z. (x, z) ∈ r ⟶ y = z))"

因此，有效地，单值关系是
（'a×'b）集合
类型的一个术语，它满足谓词
单值
。文中还给出了关于这一定义的一些初步结果

当然，这个谓词可以用来创建从
'a
到
'b
的“函数作为关系”的新类型构造函数。有关在Isabelle/HOL中定义新类型构造函数的更多信息，请参见Isabelle[3，第11.7节]的官方文件和Isabelle/HOL[4，第3节]中的文章“提升和转移：商的模块化设计”。这样的类型已经在某个地方出现，这是不可能的，但我在快速搜索源代码后找不到它（或任何类似的东西）。
当然，几乎没有什么可以阻止我们提供一种类型，它可以捕获答案前面小节中给出的函数的任何一种集合论定义。我想，像下面这样的定义可能会起作用，但我还没有测试过：

typedef ('a, 'b) relfun = 
  ‹
    {
      (A::'a set, B::'b set, f::('a × 'b) set). 
        single_valued f ∧ Domain f = A ∧ Range f ⊆ B
    }
  ›
proof-
  let ?r = ‹({}, {}, {})›
  show ?thesis unfolding single_valued_def by (intro exI[of _ ?r]) simp
qed

Isabelle/HOL II:FuncSet和其他限制

虽然Isabelle/HOL中的函数是完整的，但仍然可以使用各种方法将函数限制在某个预定义域（即
UNIV:：'a set
）的适当子集）。一种常见的方法（见theory
HOL Library.FuncSet
）是强制函数在域的某些部分上
未定义。我在下文中的回答更详细地解释了这一点

Isabelle/HOL III:HOL/ZF、HOL和HOTG中的ZFC

这可能有点离题。然而，存在Isabelle/HOL的扩展以及不同强度的集合论公理[5,6,7]。例如，HOL[6]中的ZFC提供了一种表示冯·诺依曼宇宙的特定类型
V
。我们现在可以定义所有相关的集合论概念，当然包括函数的常规定义。在HOL中的ZFC中，可以使用所谓的运算符
VLambda
将HOL中定义的函数内部化，例如：
（F:：V）=VLambda（A:：V）（F:：V⇒五） 
。现在，
F
是一个单值二元关系，内部化在类型
V
中，具有域
a
和形式
的值⟨x、 f x⟩

作为旁注，在我自己进行范畴理论的形式化工作时，我明确地将函数的两个定义作为
V
上的谓词

摘要

Isabelle/HOL（2021）中定义函数f的正确方法是什么
从特定集合a到另一集合B

为了直接回答你的问题，我的观点是，没有一种“正确的方法”来定义从一个特定集合a到另一个集合B的函数。然而，你可以探索许多选项：每个选项都有其特定的优缺点

参考资料

Takeuti G，Zaring WM。公理集合论导论。海德堡：斯普林格·维拉格；1971年
戈德布拉特·R·拓扑：逻辑的范畴分析。米内奥拉：多佛出版物；2013年
Wenzel M.《伊莎贝尔/Isar参考手册》。2019年