Simp不使用Isabelle中提供的引理

我正在做书中的练习2.6：

从“文本中定义的树”类型开始，定义函数内容：：“树”⇒ '以任何顺序收集列表中树中所有值而不删除重复项的列表。然后定义一个函数sum_tree:：nat tree⇒ 对自然数树中的所有值求和并证明sum_tree t=sum_list（contents t）（其中sum_list是预定义的）的nat

我已经开始证明这个定理，不是用auto，而是指导Isabelle使用必要的定理：

theory Minimal

imports Main

begin

datatype 'a tree = Tip | Node "'a tree" 'a "'a tree"

fun contents :: "'a tree ⇒ 'a list" where
  "contents Tip = []"
| "contents (Node l a r) = a # (contents l) @ (contents r)"

fun sum_tree :: "nat tree ⇒ nat" where
  "sum_tree Tip = 0"
| "sum_tree (Node l a r) = a + (sum_tree l) + (sum_tree r)"

lemma sum_list_contents: 
  "sum_list (contents t1) + sum_list (contents t2) = sum_list (contents t1 @ contents t2)"
  apply auto
  done

lemma sum_commutes: "sum_tree(t) = sum_list(contents(t))"
  apply (induction t)
   apply (simp only: sum_tree.simps contents.simps sum_list.Nil)
   apply (simp only: sum_list.Cons contents.simps sum_tree.simps  sum_list_contents)

在这里，它到达了一个证明状态

proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. ⋀t1 x2 t2.
   sum_tree t1 = sum_list (contents t1) ⟹
   sum_tree t2 = sum_list (contents t2) ⟹
   x2 + sum_list (contents t1) + sum_list (contents t2) = x2 + sum_list (contents t1 @ contents t2)

我想知道为什么

simp

没有使用提供的

sum\u list\u内容

引理。我知道simple

simp

可以解这个方程

---

一般的

simp

包含哪些

simp only

在这种情况下不会使用的内容？

正如注释中指出的，缺少的部分是自然数加法的关联性。将

add.assoc

添加到simapplication规则中可以解决该方程

或者，可以更改定义树和时的操作数顺序：

fun sum_tree_1 :: "nat tree ⇒ nat" where
  "sum_tree_1 Tip = 0"
| "sum_tree_1 (Node l a r) = a + ((sum_tree_1 l) + (sum_tree_1 r))"

则不需要关联性：

lemma sum_commutes_1: "sum_tree_1(t) = sum_list(contents(t))"
  apply (induction t)
   apply (simp only: sum_tree_1.simps contents.simps sum_list.Nil)
  apply (simp only: sum_list.Cons contents.simps sum_tree_1.simps sum_list_contents)
  done

---

这可能是因为

+

是左关联的，所以实际上你有

（x2+sum\u list（contents t1））+sum\u list（contents t2）

，现在你的引理LHS不再匹配了。不过，我会等待专家告诉你解决这个问题的“正确”方法。