Isabelle中Takeuchi函数终止性的证明_Isabelle_Termination

Isabelle中Takeuchi函数终止性的证明

isabelle

Isabelle中Takeuchi函数终止性的证明,isabelle,termination,Isabelle,Termination,以下是我试图证明这一点的尝试：这里有几个问题。首先，我应该在moore函数中返回一个三元组。现在，系统正在抱怨错误：类型统一失败：类型“int”和“\u”冲突⇒ _" 应用程序中的类型错误：操作数类型不兼容接线员：op≤ x:：（int）⇒ int⇒ int）⇒ 布尔操作数：y:：int 然后，当然终止证明不会成功，因为我没有应用上面的终止函数（方法应该类似于）如何解决这个问题？首先，您的moore函数当前不返回一个三元组，而是一个包含两个ints并返回一个int的函数。对于三元组，您必

以下是我试图证明这一点的尝试：

这里有几个问题。首先，我应该在moore函数中返回一个三元组。现在，系统正在抱怨错误：

类型统一失败：类型“int”和“\u”冲突⇒ _"

应用程序中的类型错误：操作数类型不兼容

接线员：op≤ x:：（int）⇒ int⇒ int）⇒ 布尔操作数：y:：int

然后，当然终止证明不会成功，因为我没有应用上面的终止函数（方法应该类似于）

如何解决这个问题？

首先，您的

moore

函数当前不返回一个三元组，而是一个包含两个

int

s并返回一个

int

的函数。对于三元组，您必须编写

int×int×int

。此外，元组被构造为

（x，y，z）

，而不是像你那样的

xyz

此外，没有理由使用

fun

（更不用说

function

）来定义

moore

函数，因为它不是递归的。

definition

工作得很好。另一方面，对于

tk

，您需要使用

function

，因为没有明显的词典终止度量

此外，返回三元组的函数在Isabelle中处理起来通常有点难看；定义三个单独的函数更有意义。将所有这些放在一起，您可以这样定义您的函数：

definition m1 where "m1 = (λ(x,y,z). if x ≤ y then 0 else 1)"
definition m2 where "m2 = (λ(x,y,z). nat (Max {x, y, z} - Min {x, y, z}))"
definition m3 where "m3 = (λ(x,y,z). nat (x - Min {x, y, z}))"

function tk :: "int ⇒ int ⇒ int ⇒ int" where
  "tk x y z = ( if x ≤ y then y else tk (tk (x-1) y z) (tk (y-1) z x) (tk (z-1) x y))"
  by auto

termination proof (relation "m1 <*mlex*> m2 <*mlex*> m3 <*mlex*> {}", goal_cases)
  case 1
  show "wf (m1 <*mlex*> m2 <*mlex*> m3 <*mlex*> {})"
    by (auto intro: wf_mlex)
next
  case (2 x y z)
  thus ?case sorry
next
  case (3 x y z)
  thus ?case sorry
next
  case (4 x y z)
  thus ?case sorry
next
  case (5 x y z)
  thus ?case sorry
qed

然后，您可以使用部分归纳规则

tk.pinduct

轻松证明

tk

函数的部分正确性定理：

lemma tk_altdef:
  assumes "tk_dom (x, y, z)"
  shows   "tk x y z = (if x ≤ y then y else if y ≤ z then z else x)"
  using assms by (induction rule: tk.pinduct) (simp_all add: tk.psimps)

tk_dom（x，y，z）

假设表示

tk

终止于

（x，y，z）

现在，如果我正确阅读了您链接的论文，终止证明的模板如下所示：

definition m1 where "m1 = (λ(x,y,z). if x ≤ y then 0 else 1)"
definition m2 where "m2 = (λ(x,y,z). nat (Max {x, y, z} - Min {x, y, z}))"
definition m3 where "m3 = (λ(x,y,z). nat (x - Min {x, y, z}))"

function tk :: "int ⇒ int ⇒ int ⇒ int" where
  "tk x y z = ( if x ≤ y then y else tk (tk (x-1) y z) (tk (y-1) z x) (tk (z-1) x y))"
  by auto

termination proof (relation "m1 <*mlex*> m2 <*mlex*> m3 <*mlex*> {}", goal_cases)
  case 1
  show "wf (m1 <*mlex*> m2 <*mlex*> m3 <*mlex*> {})"
    by (auto intro: wf_mlex)
next
  case (2 x y z)
  thus ?case sorry
next
  case (3 x y z)
  thus ?case sorry
next
  case (4 x y z)
  thus ?case sorry
next
  case (5 x y z)
  thus ?case sorry
qed

终止证明（关系“m1 m2 m3{}”，目标案例）
案例1
显示“wf（m1 m2 m3{}）”
作者（自动介绍：wf_mlex）
下一个
外壳（2 x y z）
这样？对不起
下一个
外壳（3 x y z）
这样？对不起
下一个
外壳（4 x y z）
这样？对不起
下一个
外壳（5 x y z）
这样？对不起
量化宽松

在这里的最后四种情况中，您将不得不进行显示度量值减少的实际工作。

操作符将多个度量值组合成一个词典度量值。显示该度量值中包含的内容的相关规则是

mlex_less

和

mlex_le

首先，y我们的

moore

函数目前不返回一个三元组，而是一个取两个

int